Найдите диаметр окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 12 см.

центр окружности лежит на пересечени высот, которые относятся 2/1 считая от вершины, мы обозначим их как х и 2х, то что 2х это радиус.   в раврностороннем треугольнике высота, это медиана и бессиктриса, так что она делит основание на два, соответстаенно пол основания это 6. теперь по теореме пифагора высота=   корень из12 в квадрате- 6 в квадрате, корень из 144- 36, равно корень из 108, но это вся высота   а нам надо две части, поэтому: 3х=корень из 108, х=корень из 108/3, 2х= 2 корня из 108\3, теперь диаметр в 2 р больше радиуса так что он =4 корня из 108\3.

на мой взгляд самый быстрый способ построить угол 30 градусов с линейки и циркуля состоит в следующем:

проводим горизонтальную линию, ставим на нее в произвольной точке циркуль и проводим окружность. в точке, где окружность пересекла линию (например справа) опять ставим циркуль и проводим еще одну такую же окружность. проводим линию через центр первой окружности и точку пересечения окружностей (красная линия) и проводим линию через точки пересечения окружностей (зеленая линия). острый угол между красной и зеленой линиями равен 30 градусам.

Теорема. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.   •док-во. обратимся к рисунку, на котором авс — равнобедренный треугольник с основанием вс, аd — его биссектриса. из равенства треугольников авd и асd (по 2 признаку равенства треугольников: ad-общая; углы 1 и 2 равны т.к. ad-биссектриса; ab=ac,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что вd = dc и 3 = 4. равенство вd = dc означает, что точка d — середина стороны вс и поэтому аd — медиана треугольника авс. так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. следовательно, отрезок ао является также высотой треугольника авс. теорема доказана.