Abc равносторонний ab=2корень из 3 окружность вписана в abc найти радиус

R=s/p p=(a+b+c)/2 проведи d высоту по пифагору найди ее s=dc/2

даны координаты a(7,7,3), в(6,5,8), с(3,5,8) и   d(8,4,1).

находим векторы:

                                      x       y     z квадрат длина ребра  

вектор ав={xb-xa, yb-ya, zb-za}   -1       -2       5       30       5,4772

вектор аc={xc-xa, yc-ya, zc-za}   -4   -2       5       45       6,7082.

их векторное произведение равно: ав х ас =

= i         j         k |         i           j

-1       -2         5 |       -1         -2

-4       -2         5 |       -4         -2   =     -10i - 20j + 2k   +   5j + 10i - 8k =

= 0i - 15j - 6k   =   (0; -15; -6).

площадь основания (авс) равна половине модуля:

s(abc) = (1/2)*√(0 + 225 + 36) = (1/2)*√261 = (3/2)√29 ≈ 8,0778.

находим вектор ad:

вектор аd={xd-xa, yd-ya, zd-za   (1       -3     -2)   = √ 14   ≈ 3,742.  

находим смешанное произведение:

ав х ас = (0; -15; -6).

аd = (1; -3;   -2).

(ав х ас) * аd = 0 + 45 + 12 = 57.

объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения:

v = (1/6)*57 = 57/6 = 19/2 = 9,5 куб.ед.

теперь определяем искомую высоту из вершины d на авс.

н = 3v/s(abc) = 3*(19/2)/((3/2)√29) = 19√29/29 ≈ 3,528.

 

Т.к. ∠amb=∠bmc=∠cma=360/3=120 , то значит точка м - точка торричелли (точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°).   1) eсли построить на стороне bc треугольника abc внешним образом правильный треугольник a1bc, то точка м будет лежать на окружности, описанной около треугольника a1bc (∠bmc=120, ∠bа1c=60), с радиусом r1=bc/√3=9/√3. эта же окружность описана и около треугольника мвс, значит можно найти его площадь smbc=mb*mc*bc/4r1=mb*mc*√3/4. 2) точно так же строим на стороне ас равносторонний треугольник ав1с, для него r2=ac/√3=4/√3, smac=ma*mc*ac/4r2=ma*mc*√3/4. 3) aналогично на стороне ав построим треугольник ас1в, для него r3=ab/√3=6/√3, smab=ma*mb*ab/4r3=ма*мв*√3/4. 4) площадь треугольника авс находим по ф.герона sabc=√р(р-ав)(р-вс)(р-ас)=√9,5*3,5*0,5*5,5=0,25√1463, где полупериметр р=(ав+вс+ас)/2=(9+4+6)/2=9,5. 5) tакже площадь sabc=smbc+smac+smab, подставим: 0,25√1463=√3/4*(mb*mc+ma*mc+ma*mb), значит   mb*mc+ma*mc+ma*mb=0,25√1463: √3/4=√1463/3. 6) теперь применим теорему косинусов: -  для треугольника  мвс вс²=мс²+мв²-2мс*мв*соs 120. cos 120=-1/2 81= мс²+мв²+мс*мв-  для треугольника  мас ас²=мс²+ма²-2мс*ма*соs 120.  16= мс²+ма²+мс*ма-  для треугольника  мав ав²=ма²+мв²-2ма*мв*соs 120.  36= ма²+мв²+ма*мв7) если все 3 выражения сложить, получится 81+16+36=мс²+мв²+мс*мв+мс²+ма²+мс*ма+ ма²+мв²+ма*мв133=2(мс²+ ма²+мв²)+(мс*мв+мс*ма+ма*мв)133=2(мс²+ма²+мв²)+√1463/3 мс²+ ма²+мв²=(133-√1463/3)/2≈(133-22,08)/2=55,46≈55