Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 и 12 см. найдите площадь трапеции.

вся "хитрость" в том, что эти отрезки 9 и 12 - перпендикулярны, как биссектрисы внутренних односторонних углов. сумма внутренних односторонних  углов 180 градусов, значит сумма половин - 90, поэтому треугольник, образованный боковой стороной и этими отрезками - прямоугольный. 

ясно, что это "египетский" треугольник со сторонами 9,12,15, и высота его равна 9*12/15 = 36/5; (это - радиус окружности, вписанной в трапецию).

трапеция равнобедренная и в неё вписана окружность, следовательно, полупериметр равен р = 15*2 = 30; радиус окружности равен вычисленной высоте треугольника r = 36/5, и площадь s = p*r = 30*36/5 = 36*6 = 216;  

Обозначим угол a параллелограмма за a, угол b параллелограмма за b. сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, тогда a+b=180. рассмотрим треугольник abe. так как ae - биссектриса угла a, угол bae равен a/2. так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, bea=180-b-a/2=a/2. то есть, в треугольнике равны углы bae и bea, тогда он равнобедренный и ab=be.  аналогично, угол c равен углу а и равен а, угол d равен b. в треугольнике cde угол cde равен b/2, так как de - биссектриса. тогда угол dec равен 180-a-b/2=b/2. таким образом, треугольник cdуравнобедренный и ec=cd. так как ab=cd, be=ec, тогда e - середина bc, что и требовалось.

ответ:

объяснение:

вспомним, как решать на доказательство равенства треугольников.

для того, чтобы доказать равенство треугольников, требуется три равных элемента.

два равных элемента в условии, а третий надо найти на чертеже.

итак, начнем решение :

1. рассмотрим δmko и nko

1) mk = kn (по условию)

2) ∠mko = ∠kon (по условию)

ну а теперь, посмотрев на чертеж, можно заметить, что в обоих треугольниках есть общая сторона - mn

3) mn - общая

следовательно, δmko = δnko по второму признаку равенства треугольников. (по одной стороне и двум прилежащим к ней углам).

понятно ли я объяснил ? имеются ли вопросы?

решена.