Найдите острые углы прямоугольного треу-ка, если один из них в два раза больше второго. экзамен

1 угол х

2 угол у=2х  х+у=90  х+2х=90  х=30    у=60.

Используем формулу длины биссектрисы: . обозначим ав=с, вс=а. возведём в квадрат: отсюда а*с=36+12=48         (1). биссектриса делит сторону ас пропорционально боковым сторонам. 3/с = 4/а или с = (3/4)*а. подставим в уравнение (1): а*((3/4)*а) = 48 а² =(48*4) / 3 = 64 а =  √64 = 8. с = (3*8) / 4 =6. находим радиус окружности, вписанной в треугольник авс: аналогично находим  радиус окружности, вписанной в треугольник  двс: r₁=1,290994. разность r - r₁ = 0,645498. по теореме косинусов находим величину угла с: . с =  0.812756  радиан =  46.56746°. центры окружностей с радиусами  r и r₁ лежат на биссектрисе угла с. тангенс угла с/2 = tg(46.56746 / 2) = tg  23.28373° = 0,43033. тогда длина отрезка км равна: км = (r-r₁) / tg(c/2) =  0,645498 /  0,43033 = 1,5.

Центр о  окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка mn. обозначим: - точку касания окружностью стороны ав точкой к, - точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне ас, со  стороной ас за точку р, со стороной ав за точку е, - отрезок ор за х, - отрезок ре за в. так как окружность проходит через точки м и к, то мо и ко как радиусы равны. из треугольников омр и оке составим уравнение: возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение: (1 - cos²a)*x²-2bcos²a*x+(13.5²-b²cos²а) = 0. значение в находим: в = 22,5*tga = 22.5*((1-cos²a)/cosa) = 5,809475. подставив значения в и cosa, получаем: 0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0. отсюда х₁ = 15,1421,               х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка к выходит за пределы треугольника авс. тогда радиус равен:   r=√(13.5² + x²) =  √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.