Высота правильной шестиугольной призмы равна а. диагонали двух смежных боковых граней , проведённых из одной вершины, взаимно перпендикулярны .определить боковую поверхность призмы

так как две смежные диагонали перпендикулярны друг другу, получаем прямоугольный треугольник во вложении:

тогда

 

 

откуда получаем

тогда получаем

 

 

 

площадь боковой поверхности считаем по формуле: периметр основания на высоту:

 

  периметр равен:

тогда площадь боковой поверхности будет равна:

 

Сторону а основания найдём по теореме косинусов: а =  √(8²+8²-2*8*8*(√3/2)) = 8√(2-√3)  ≈  4,1411047 см.далее можно идти двумя путями:   -1) по формуле герона по трём сторонам найти площадь грани и умножать её на 6,  -2)  найти высоту н грани, и по ней и периметру основания найти площадь боковой поверхности.  1) s =  √(p(p-a)(p-b)(p-       р = (2*8+4,1411047)/2 =  10,07055 см.      подставляем:       s =  √(10,07055* 2,07055236  *5,9294476  *2,0705524) =  √ 256  = 16 см².       тогда sбок = 6s = 6*16 = 96 см².   2) периметр основания р = 6а = 6*4,1411047 =  24,84663 см.      н = 8*cos 15° = 8* 0,965926 = 7,72740661 см.      sбок = (1/2)рн = (1/2)*24,84663*7,72740661 = 96  см².      

Пусть дан ромб AВСD, в котором высота BM, проведённая из вершины ∠АВС образует ∠АВМ = 30° со стороной AB, отрезок AM = 4 см, тогда:

4 ∙ 2 = 8 (см) – длина гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике АВМ (∠ВМА = 90°), по свойству катета, противолежащего ∠АВМ = 30°, тогда и сторона ромба АВ = 8 см;

8 – 4 = 4 (см) длина отрезка МD, так как по свойству взаимного расположения точек на прямой АD = АМ + МD.

ΔАВМ = ΔDВМ пр 1 признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам):

2) ВМ – общий катет;

2) АМ = МD = 4см.

Следовательно гипотенузы треугольников будут равны АВ = BD = 8 см и длина диагонали ромба BD = 8 см.

ответ: длина диагонали ромба BD составляет 8 см.