Через середину к медианы вм треугольника авс через вершину а проведена прямая пересекающая сторону вс в точке п . найдите отношение площади четырехугольника кпсм и треугольника амк.

смысл таких всегда одинаковый - надо найти, в какой пропорции точка к делит ар, а точка р - сторону вс. оказывается, чтобы это определить, достаточно условий, что вм - медиана и к - её середина. как будет видно дальше, в этой достаточно найти кр/ак;

пусть mn ii bc, и точка n лежит на ар. тогда треугольники mnk и bkp равны, так как вк = км, и углы при этих сторонах равны. то есть nk = kp. при этом an = np, то есть кр = вр/4, а ak = bp*3/4; и кр/ак = 1/3;

этого уже достаточно, чтбы решить . дело в том, что отрезок ск делит треугольник аср на два треугольника акс и скр, отношение площадей их равно 3 (у них высота общая - расстояние от с до ар, поэтому площади относятся, как ак/кр). при этом отрезок км делит треугольник акс на два, равных по площади, так как м - середина вс.

то есть если площадь скр = s, то площадь акс равна 3s, площади акм и кмс равны 3s/2, площадь кpсm равна s + 3s/2 = 5s/2;

и отношение площади kpcm к площади амк = 5/3; решена.

 

теперь пусть pq ii bc, q лежит на вм. тогда треугольник pqk подобен треугольнику вмк. qk/km = кр/ак = 1/3; qk = km/3 = вм/6; qm = bm*(1/2 + 1/6) = bm*2/3; то есть bq = bm/3, и, соответственно, вр = вс/3;  

отсюда следует, что площади треугольников арв и арс относятся, как 1/2. это не имеет прямого отношения к , но - если хочется - позволяет найти площади всех треугольников авк, вкр, акм и четырехугольника крсм по отношению к площади авс. можете сами попробовать : )

найдём проекции векторов

авх = 1 - 0 = 1;   аву = 0 - 1 = -1; то есть ав(1; -1)

сdх = 2 - 1 = 1;     сdу = 1 - 2 = -1, то есть сd(1; -1)

векторы коллинеарны, если отношения их проекций равны, т.е. авх/сdх = аву/сdу. действительно, 1/1 = -1/(-1).

кроме того, одноимённые проекции имеют один и тот же знак, следовательно, векторы сонаправлены.

эти векторы не только коллинеарны и сонаправлены, но и равны по модулю:

iавi = iсdi = √(1² + (-1)²) = √2

коллинеарные векторы равны, если они сонаправлены и имеют равные модули, следовательно вектор ав = вектору сd, что и требовалось доказать.

1.трапеция тупоугольная, следовательно, высота ее будет лежать вне самой фигуры. найдем ее. острый угол при другом основании равен 135 - 90 = 45 градусов. следовательно, боковая сторона, равная по условию 23 корня из 2, является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого равны между собой и равны высоте данной трапеции.  квадрат гипотенузы равен 23*23*2 = 1058, квадрат катета 1058/2 = 529, катет равен 23. итак, высота 23, основания 6 и 10. ищем площадь: 23(6+10)\2 = 184 ответ: 184