Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 30 , если радиус вписанной в него окружности равен r

"вспоминаем" подходящие формулы.

радиус окружности, вписанной в равнобедренный тр-к:  

r = b/2* √(2a-b)/(2a+b), где b - основание, а - боковая сторона.

b = 2acosα, где b - основание, а - боковая сторона, α - угол между ними.

площадь s=1/2*a*b*sinα

вставляем известные величины: r =  (2acosα/2)*√(2a-2acosα)/(2a+2acosα) =

acosα√[(1-cosα)/(1+cosα)]. тогда а=r/(cosa*√[(1-cosa)/(1+cosa)])=r/(cosa√[sin^2a/(1+cosa)^2]=r(1+cosa)/(cosa*sina).

b = 2a*cosa

s = (1/2)*a*b*sina=(1/2)*r(1+cosa)*2a*cosa*sina)/(cosa*sina)=r(1+cosa)*r*(1+cosa)/(cosa*slna) = r^2*(1+cosa)^2/(cosa*sina)=r^2*(1+2cosa+cos^2a)/(cosa*sina).

sin30=1/2. cos30=√3/2. тогда

s=r^2*4*(4+4√3+3)/(√3*4)=r^2*(7+4√3)/√3 = 8,005*r^2 =~8r^2.

ответ: s = 8r^2.

Пирамида кавс, в основании  треугольнк авс, ав=вс=5, ас=6, о-центр описанной окружности, ко-высота пирамиды, ка=кс=кв=корень10,  ао=со=во=радиусы описанной окружности, проводим высоту вн на ас=медиане, ан=нс=1/2ас=6/2=3, треугольник авн прямоугольный, вн=корень(ав в квадрате-ан в квадрате)=корень(25-9)=4, площадьавс=1/2*ас*вн=1/2*4*6=12, радиус описанной=(ав*вс*ас)/(4*площадьавс)=(5*5*6)/(4*12)=3,125=25/8, треугольник аок прямоугольный, ко-высота=(ка в квадрате-ао в квадрате)=корень(10-625/64)=корень15/8

Прямоугольник авсд, ад=вс=10, ав=сд=8, кс перпендикулярна авсд, кс=15, треугольник кдс прямоугольный, кд=корень(кс в квадрате+сд в квадрате)=корень(225+64)=17, площадькдс=кс*сд/2=15*8/2=60, треугольник вкс прямоугольный, вк=корень(вс   в квадрате+кс в квадрате)=корень(225+100)=5*корень13, площадьвкс=вс*кс/2=10*15/2=75 согласно теореме о трех перпендикулярах кв перпендикулярна ав (уголавк=90) ,  площадь авк=вк*ав/2=5*корень13*10/2=25*корень13, по теореме о трех пернпендикулярах кд перпендикулярна ад, уголадк=90, площадь адк=кд*ад/2=17*10/2=85, площадь боковая=60+75+85+25*корень3=220+25*корень3 площадь авсд=ад*сд=10*8=80 площадь полная=220+25*корень3+80=300+25*корень3