Восновании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3√3, 11 и углом в 30° между ними. все боковые ребра =8. найти объем пирамиды

объем пирамиды вычисляется по формуле

 

 

в данном случае площадь основания пирамиды вычислить легко по формуле площади треугольника

 

 

 

теперь надо найти высоту пирамиды. сделать это непросто. так как нужно узнать: где находится основание высоты пирамиды.

 

пусть so - высота пирамиды. авс - треугольник в основании пирамиды. рассмотрим 3 треугольника soa, sob, soc. все эти треугольники прямоугольные. так как so перпендикулярно плоскости основания, а значит перпендикулярно любой прямой в плоскости основания. далее, so - общий катет этих прямоугольных треугольников. sa=sb=sc=8 - по условию . значит эти треугольники равны по катету и гипотенузе. поэтому другие катеты равны тоже между собой oa=ob=oc. точка о - является центром описанной окружности. так как расстояние от точки до любой вершины треугольника авс одно и то же. найти радиус описанной окружности можно по разным формулам. можно воспользоваться следующей формулой

 

 

здесь a, b, и c - стороны треугольника авс.

 

две стороны нам известны. надо найти третью сторону треугольника авс.

 

найдем ее по теореме косинусов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c=7

 

значит третья сторона треугольника равна 7.

 

подставляем в формулу (*)

 

 

 

 

 

нашли катет прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, боковым ребром и стороной, лежащей в основании пирамиды.

 

теперь нам известны гипотенуза прямоугольного треугольника (это боковое ребро пирамиды 8), катет (это радиус описанной окружности треугольника авс, 7). осталось найти другой катет (высоту пирамиды). по теореме пифагора

 

 

 

 

 

подставим известные значения в формулу (**)

 

 

 

 

 

ответ:

 

 

Дано: треугольник авс, ав = вс, bd — медиана, р abd = 12 сантиметров, bd = 4 сантиметра. найти периметр треугольника авс, то есть р авс — ? решение: 1. рассмотрим треугольник авс. он является равнобедренным, так как ав = вс. 2. треугольник abd = треугольнику свd по трем сторонам, так как ав = вс, dв — общая, аd = dс потому, что медиана делит сторону на две равные части. 3. р авс = р abd + р сbd - 2 * вd; р авс = 12 + 12 - 2 * 4; р авс = 24 - 8; р авс = 16 сантиметров. ответ: 16 сантиметров.

точка м равноудалена от вершин равностороннего треугольника авс, значит она проецируется в центр треугольника авс, так как проекции равных наклонных равны. итак, точка н - центр треугольника авс.   в правильном треугольнике авс высота ар является и медианой и биссектрисой угла а.   ар = (√3/2)*а - формула.   ар = 3√3. высота ар правильного треугольника авс делится центром н в отношении 2: 1, считая от вершины (свойство). значит ан=ар*(2/3) = 2√3. по пифагору из треугольника амн имеем: ам=√(ан²+мн²) = √(12+4) = 4.

ответ: ам=4 ед.