Доказать что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. решит без использования описанной окружности

Если достроить прямоугольный треугольник до прямоугольника , то медиана в нем будет диагональю,   а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна сумме площадей шести правильных треугольников со сторонами, равными радиусу этой окружности. тогда площадь одного треугольника равна d/6. по формуле эта площадь равна (√3/4)*a², где а=r. следовательно, √3*r²/4=d/6  => r²=2d√3/9. r=√(2d√3)/3 по пифагору квадрат диагонали вписанного квадрата равен (2r)²=2а², где а - сторона квадрата. а=2r/√2 = r√2,  а площадь - s= а² =2r² . подставим найденное значение r, тогда сторона вписанного квадрата: а=√(2d√3/9)*√2=√(4d√3)/3. площадь вписанного квадрата: s=a²= 4d√3/9.

Пусть градусная мера одной части будет х.тогда дуга ав содержит 3х,   дуга вс - 4х и   ас-5х.  окружность содержит 360°,  ⇒3х+4х+5х=360°  ⇒х=30° 1)  дуга ав равна:   30°*3=90° на нее опирается   вписанный угол асв⇒по свойству градусной величины вписанного угла  он равен  половине этой дуги: 90°: 2=45°2) дуга вс равна  30°*4=120°на эту дугу опирается вписанный угол сав;   он равен её половине: 120°: 2=60° 3)дуга ас равна    30°*5=150°на эту дугу опирается угол авс, и он   равен её половине: 150°: 2=75°углы треугольника авс равны половинам градусных мер  дуг, на которые они опираются:   ∠с=45°,  ∠ а=  60°,  ∠ в=75°