Ввыпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны

Если соединить последовательно середины сторон выпуклого четырехугольника, то каждый из отрезков будет параллелен диагонали четырехугольника и равен его половине (как средняя линяя в треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю четырехугольника). то есть фигура, образованная этими отрезками - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны между собой).  причем углы между сторонами параллелограмма   равны углам между диагоналями исходного четырехугольника. отрезки, соединяющие  середины противоположных сторон исходного четырехугольника, в этом параллелограмме будут диагоналями. поскольку по условию эти отрезки равны, то параллелограмм является прямоугольником, углы между его сторонами прямые, следовательно, между диагоналями исходного четырехугольника тоже прямые углы. 

Если диагональ равна стороне ромба - эта диагональ делит ромб на два равносторонних треугольника. а, как известно, углы равностороннего треугольника также равны. значит, исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, угол равностороннего треугольника, образованного диагональю, равен 180: 3=60 градусов. то есть, каждый острый угол ромба равен 60 градусам. а тупые углы нашего  ромба состоят из 2х  углов равносторонних треугольников  , образованных диагональю ромба. следовательно, каждый тупой угол ромба равен 60х2=120 градусов.

Воспользуемся формулой площади треугольника s=1/2*ab*sin с, где с - угол между сторонами а и b. если углы треугольника обозначим как а, в, с, а стороны как а, b, c (соответственно 7, 9, 11), то получим значения площади s=63/2*sin c=77/2*sin b=99/2*sin a. другая формула площади s=1/4*v(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=1/4v27*5*9*13=3/4v195. 63/2sin c=3/4*v195  => sin c=3/4*v195*2/63=3/126*v195=1/42v195 (cos c)^2=1-(sin c)^2  =>   (cos c)^2=1-195/1764=65/588  => cos c=v65/588=1/14*v65/3=1/42v195. аналогично находим cos b, cos a.