Найдите угол c треугольника abc, если известно, что угол a на 20 градусов меньше, чем угол b и на 60градусов меньше, чем внешний угол при вершине с.

Обозначим < а через х, тогда < в = х + 20 внешний угол при вершине с = х+ 60имеем равенство: х+ 20 + х = х + 60 (внешний угол при вершине треугольника  равен сумме двух внутренних, не смежных с ним) 2х + 20 = х + 60 х=40  < a = x = 40 ° < b = x + 20 = 60 ° < c = 180 - (< a + < b) = 180 - 40 - 60 = 80 °(сумма углов треугольника ровна 180 градусов)

Биссектриса  прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

решение :   Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник  вычисляется по формуле r = ( a + b - c)/2 ,где a и b катеты , c -гипотенуза .

a / b = 3/4  (свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)

* * *Биссектриса угла, проведённая в треугольнике, делит противолежащую сторону на два отрезка, которые пропорциональны прилежащим к углу сторонам * * * .

a =3k ; b =4k  ⇒ с =5k     * * *   c =√( (3k)²+(4k)² ) =5k  * * *

r =(3k+4K -5k)/2 = k , но  c =3 см+4 см =7 см  ;  5k =7 см⇒ k =1,4 см.

ответ : 1,4 см .

3. против угла в 30° лежит катет КN, равный половине гипотенузы, поэтому гипотенуза КL=8, тогда LN=√(8²-4²)=√(4*12)=4√3

4. В треугольнике МСN ∠M=30°, его нашли из ΔМКN, К N=КМ, и ∠N=∠М=(180°-120°)/2=30°, а против угла в 30° лежит катет NC=0.5NM=

0.5*30=15

5.MF=0.5*EF=10*0.5=5, т.к. катет MF лежит против гипотенузы EF.

6. Т.к. дан прямоугольный равнобедренный треугольник, то углы при основании АТ равны по 45°,  РА=АТ*сщы∠А=30*cos45°=30*√2/2=15√2

7. ЕR=SR*tg60°=9√3

8.АD лежит в ΔАDС против угла в 30° и равен 0.5АС=3, по свойству пропорц. отрезков в прямоуг. треугольнике АС²=АD*АВ⇒АВ=36/3=12

СВ=√(АВ²-АС²)=√(144-36)=√108=6√3