На швейній фабриці пошили 87 осінніх і 100 зимових пальт. на зимові пальта витратили на 39 метрів тканини більше, ніж на осінні. скільки метрів тканини витратили на осінні пальта і скільки на зимові, якщо тканини на одне зимове і одне осіннє пальто затрачали порівну?

пусть первое число а, тогда второе а + d,   третье a + 2d. так как их сумма равна 30, то 3a + 3d = 30. следовательно, a + d =10. (это второй член арифметической прогрессии).    если первое число оставить без изменения, а от второго и третьего отнять соотвественно 4 и 5, то образуется прогрессия: а = 10-d; 10 -4; 10 +d -5 или 10 - d; 6; 5 + d. используя это условие составим уравнение:

так как арифметическая прогрессия возрастающая, то подходит только корень уравнения 7. значит искомые числа:   а = 10 - d = 10-7 = 3; 10; 10+7=17.

ответ: 3; 10; 17.

докажем для начало   просто зафиксируем что база наша верно то есть подставим 

1+2=2*3/2

  верно

теперь   докажем   что она верна для n+1 то есть   индуктивный переход   подставим 

1+2+n..+n+1=(n+1)(n+2)/2

она должна равняться   выражения стоящему   справа

докажем ,   так как сумма до этого вычислялась рекурентно n(n+1)/2 +n+1 так как перешли     ->  

(n(n+1))/ 2+n+1=n^2+n+2n+2/2=n^2+3n+2/2=(n+1)(n+2)/2   что т требовалось   !