Сколько элементов содержит множество четырехзначных чисел записанных с цифр 3, 4, 5, 6 так, чтобы в записи числа не повторялись.

ответ:  225 чисел.

Все четырехзначные числа имеют такое строение: aabb, bbaa, abab, baba, abba, baab, где a и b - однозначные числа (цифры).

Следовательно, всего комбинаций таких чисел выходит 9 * 9 * 6 = 486 (для цифры a - 9 возможностей, для цифры b - столько же, и еще 6 комбинаций различных расстановок). но еще нужно разделить полученное число на 2, потому что пример для а = 1 и b = 2 - это тоже самое, что и наоборот. Сейчас мы имеем уже 243 числа.

Но также хорошими четырехзначными числами являются числа вида 1111, 2222, 3333, ... , 9999. Таких чисел всего 9 и повторяются они целых 6 раз (по числу комбинаций из чисел a и b). Всего таких чисел было посчитано 9 * 6 = 54, но 9 из них нужно оставить, а еще 27 (половину) мы вычли, когда делили на 2. Поэтому надо вычесть  54 - 27 - 9 = 18. Что мы и сделаем:  243 - 18 = 225.

Это и есть ответ. Задача решена!

Примечание.

Можно посчитать общее количество хороших чисел, прибавив еще хорошие числа с нулем. Понятно, что это числа вида aabb, abba, abab, где а ≠ 0. Тогда b = 0. Поэтому таких комбинаций будет  9 * 3 (для числа a есть 9 разных значений [b неизменно равно нулю], а всего комбинаций такого вида есть 3). Теперь можно найти полный ответ: 225 + 27 = 252 хороших четырхзначных чисел всего.

Все комбинации состоят из таких чисел: abba, abab, aabb, baab, baba, bbaa.

Чисел из цифр от 1 до 9 выходит 9*9*6 = 486, но это число надо делить на 2, ибо мы 2 раза повторяем все числа, например а=1 б=2 и б=1 а=2 дают одни и те же числа.

Итого, имеем 243 числа.

Далее, у нас есть числа вида 9999, 2222 и тд. Они повторяются не дважды, а целых 6 раз. Таких чисел у нас 9, потому надо вычесть 18, так как всего их 54 но 27 уже вычли, когда делили общее количество на 2. Итого, имеем 243 - 18 = 225

Теперь числа с нулем. Походят только те, которые НЕ начинаются на ноль. Например abba, abab, aabb, где а не равно 0.

Пусть б=0, а - любое отличное от нуля, таких чисел выходит 3 * 9 - 27

Итого: 225 + 27 = 252 числа. Это и есть полный ответ.

Без нуля будет всего 225 чисел, как писалось выше.