Построить график построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму: 1) область определения функции 2) непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞) 3) пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с пределов) 4) асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы) 5) возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия) 6) выпуклость, вогнутость и перегибы графика 7) построить сам график со всеми асимптотами

Дано: ;
Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .

D(f) ≡ R \ {0} ≡ ;

2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:

;

Найдём первую производную функции y(x) :

;

;

При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.

3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:

;

Если приравнять функцию к нолю, получим:

;

;

;

– что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;

Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.

4. Найдем асимптоты y(x).

По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .

Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± :

;

Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;

Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.

5. Первая производная функции y(x) :

– положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;

Значит, функция возрастает на и убывает на ;

Уравнение т.е. – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.

6. Найдём вторую производную функции y(x) :

;

при любых значениях аргумента ;

В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.

Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.

7.

При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;

При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;

При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;

Строим график:

Пошаговое объяснение:

1) Нехай в одному ящику персиків х кг, а всього їх два. Оскільки маса персиків і груш однакова, в одному ящику груш 3 кг, а всього їх 6, складемо рівняння:

2х = 6 × 3;

2х = 18;

х = 9.

Отже, один ящик персиків важить 9 кг.

Відповідь: 9 кг.

2) Маса 2 ящиків персиків і ящиків груш однакова. Скільки було ящиків з грушами, якщо перший і другий ящик персиків важить 9 кг, а один ящик груш – 3 кг?

Розв'язання

Нехай ящиків з грушами було х шт і кожен із них важив 3 кг. Оскільки маса персиків і груш однакова, персиків всього було 2 ящики і 9 кг в кожному, маємо рівняння:

3х = 2 ×9;

3х = 18;

х = 6.

Отже, ящиків з грушами було 6 шт.

Відповідь: 6 шт.

Для решения представленных выражений 360 : 6 + 72 : 3 = ... и (360 : 6 + 72 ) : 3 = ... нужно определить последовательность выполнения действий, то есть решений, в каждом из них.  

Очередность арифметических действий - слева направо, причем первыми действиями производятся умножение или деление, затем сложение и вычитание. Это правило решения выражений без скобок.

В выражениях со скобками принцип решения тот же самый, за исключением того, что порядок арифметических действий начинается со скобок также слева направо.

Рассмотрим каждое из представленных выражений, разобьем их на последовательные действия и решим их.

1) 360 : 6 + 72 : 3 = ...

1 арифметическое действие: 360 : 6 = 60.

2 арифметическое действие: 72 : 3 = 24.

3 арифметическое действие: 60 + 24 = 84

Единое решение данного выражения будет иметь следующий вид (распишем подробно):

360 : 6 + 72 : 3 = 60 + 72 : 3 = 60 + 24 = 84.

3) (360 : 6 + 72 ) : 3 = ...

1 арифметическое выражение: 360 : 6 = 60.

2 арифметическое действие: 60 + 72 = 132.

3 арифметическое действие: 132 : 3 = 44.

Единое решение данного выражения будет иметь следующий вид (распишем подробно):  

(360 : 6 + 72 ) : 3 = (60 + 72) : 3 = 132 : 3 = 44.

Пошаговое объяснение: