Идеей, как решать уравнение 3^х+4^x=5^x. не могу доказать, что x=2 единственный корень.

В левой части равенства сумма двух строго монотонно убывающих функций даёт строго монотонно убывающую функцию.Справа постоянная функция. Строго монотонно убывающая функция может пересекаться с постоянной функцией только в одной точке. Поэтому подобраный корень х=2 будет единственным.

Гипотенуза этого треугольника равна
a√2 = (84+42√2)*√2 = 84√2 + 42*2 = 84√2 + 84 = 84 + 84√2
Периметр равен
P = a+a+a√2 = 84+42√2+84+42√2+84+84√2 = 252 + 168√2
Соответственно, полупериметр равен
p = P/2 = 126 + 84√2 = 42*(3 + 2√2)
Площадь прям-ного тр-ника равна половине произведения катетов
S = a*a/2 = (84 + 42√2)^2 / 2 = (42*(2 + √2))^2 / 2 =
= 42^2*(4 + 4√2 + 2) / 2 = 42^2*(2 + 2√2 + 1) = 42^2*(3 + 2√2)
С другой стороны, есть формула:
S = p*r, где r - это радиус вписанной окружности.
Таким образом, r = S/p = 42^2*(3+2√2) / (42*(3+2√2)) = 42
ответ: 42

Число будет кратным 15, если оно делиться одновременно и на 3 и на 5.

Число делиться на 5, если оно заканчивается на 5 ил 0.

Число делиться на 3, если сумма его цифр делиться на 3.

Подставляем 5 вместо последней звездочки 35*045, сумма цифр 3+5+0+4+0=17, значит вместо первой звездочки может стоять:

цифра 1 : 351045/15=23403;

цифра 4: 354045/15=23603;

цифра 7: 357045/15=23803.

Подставляем 0 вместо последней звездочки 35*040, сумма цифр 3+5+0+4+0=12, значит вместо первой звездочки может стоять:

цифра 0: 350040/15=23336

цифра 3: 353040/15=23536

цифра 6: 356040/15=23736

цифра 9: 359040/15=23936

ответ: 351045, 354045, 357045, 350040, 353040, 356040, 359040