Из листового железа изготовили бак цилиндрической формы (без крышки) вместимостью v с наименьшей затратой металла. каковы размеры бака?

Пусть радиус основания равен R. Тогда, так как объем находится по формуле V = pi * R^2 * H, то H = V / (pi R^2).

Площадь бака равна S = pi R^2 + 2 pi R H (одна круглая крышка и боковая поверхность).

Необходимо, чтобы площадь была минимальна.

S = pi R^2 + 2 pi R H  = pi R^2 + 2 V / R -> min

Находим производную S'(R):

S'(R) = 2 pi R - 2 V / R^2

Находим нули производной:

2 pi R - 2V / R^2 = 0
R^3 = V / pi
R = (V / pi)^(1/3)

При 0 < R < (V / pi)^(1/3) производная S(R) < 0; при R > (V / pi)^(1/3) производная S(R) > 0. Поэтому в точке R = (V/pi)^(1/3) достигается минимум.

При этом R высота H равна 
H = V / (pi R^2) = V / pi * (pi / V)^(2/3) = (V / pi)^(1/3)

Это было давно-давно, в незапамятные времена. Тогда и звери, и птицы жили без всякой работы, ничего не делали, ни о чём не заботились. А от скуки да от безделья часто ссорились и дрались.
И вот, чтобы положить конец всем раздорам, они решили заняться важной работой – вырыть большую реку, Даугаву.
Одна лишь Иволга, птица, накликающая дождь, не хотела копать реку.
– Для чего мне вода на земле? Мне и небесной воды хватит!
А звери и птицы не стали долго судить да рядить. Тут же и принялись за работу. И работали не за страх, а за совесть.
Заяц впереди бежал, дорогу реке показывал. А ведь всем известно, что Заяц прямо бегать не умеет, бежит-петляет.
Вот потому и Даугава не прямая, а вся в извилинах получилась.
Лиса спешила за ним вслед и своим пушистым хвостом намечала берега Даугавы.
Крот-землекоп прокладывал русло. Барсук шёл за Кротом, русло расширял. Медведь, как самый главный силач –ведь недаром же он самый главный силач! – таскал из русла землю и сваливал в кучи. И сейчас видны на берегах Даугавы изрядные горы и пригорки, которые Медведь насыпал.
Да и все другие звери и птицы трудились что есть силы. И все ссоры были забыты.
А когда вырыли Даугаву, то собрались посмотреть, какова река у них получилась. Да тут же и проверили, кто как работал.
Крот и Медведь даже землю с себя стряхнуть не успели –так усердно они работали.
– Вы у нас самые трудолюбивые, – сказали им все
звери и птицы, – поэтому можете с честью носить всегда свою рабочую одежду!
С тех пор Медведь и Крот так и ходят в тёмных шубах.
Волку, который и лапами рыл, и клыками оставили навсегда и лапы, и морду чёрными. Пусть все знают, как хорошо Волк работал.
Гуся и Утку тоже хвалили за усердие. Им разрешили и плавать и мыться в реке сколько захотят.
А другим птицам, которые работали не так старательно, позволили только пить из реки.
В это время Иволга, накликающая дождь, по-прежнему прыгала и посвистывала среди ветвей.
– У меня такой красивый жёлтый наряд, -оправдывалась она, – не могла же я в своей праздничной одежде делать эту грязную работу!
Тут звери и птицы рассердились на неё.
– Пусть Иволга никогда не пьёт чистой воды ни из реки, ни из пруда. Пусть утоляет жажду дождевой струёй или каплями росы, которые проступают на лбу лежащего камня!
Поэтому и приходится теперь Иволге страдать от жажды. И когда другие птицы, предчувствуя грозу, умолкают, Иволга кричит жалобно-прежалобно, кличет не накличется, просит дождя

Почему? - ответ простой - для удобства.
Был такой исторический случай.
Давным-давно в Лондоне у каждой пожарной команды были свои шланги и, самое главное, у каждой своего размера.
И вот во время очень крупного пожара все команды приехали на место, но не могли соединить свои шланги в одну линию для забора воды.
С этого началась СТАНДАРТИЗАЦИЯ.
Даже сейчас существуют две метрические системы длины -
- дюймовая . - больше всего в Великобритании в сантехнике и
- метрическая - во всем остальном мире.
ГЛАВНОЕ. Оказалось, что самыми постоянными и неизменяемыми являются две величины - это скорость света и атомные часы.
Вот по формуле S = Vс * t ,было создано определение метр.
1 метр - путь проходимый светом за 1/ 299792458 сек.
Более понятно -  скорость света равна  299 792 458 м/сек. Обычно мы считаем что это 300 000 км/сек.
Созданы Международные комитеты мер и весов и Генеральная конференция по мерам и весам которая с своих организаций поддерживает единство измерений на нашей планете Земля.
В Санкт-Петербурге этим занимается Метрологический институт им. Д.И. Менделеева.