Ученик выполнил за первый час 2/5 , за второй час 3/7 . какую часть ему осталось выполнить? шестой класс.

PERVIY CAS 14/35. 
VTOROY CAS 15/35.
14/35+15/35=29/35 SDELAL UCENIK.
35/35-29/35=6/35 OSTALOS.

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

Простые множители первого числа: 2 ; 3 ; 
Простые множители второго числа: 2 ; 2 ; 3 ; 
Общие множители: 1; 2 ; 3 ; 
 НОК будет равен = 12
ростые множители первого числа: 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 
Простые множители второго числа: 2 ; 2 ; 2 ; 
Общие множители: 1; 2 ; 2 ; 2 ; 
 НОК будет равен = 40
Простые множители первого числа: 3 ; 17 ; 
Второе число простое
Общие множители: 1; 17 ; 
НОК будет равен = 51
Простые множители первого числа: 3 ; 11 ; 
Второе число простое
Общие множители: 1; 3 ; 
НОК будет равен = 33
Простые множители первого числа: 2 ; 17 ; 
Второе число простое
Общие множители: 1; 2 ; 
 НОК будет равен = 34
Простые множители первого числа: 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 
Простые множители второго числа: 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 
Общие множители: 1; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 
НОК будет равен = 48