За 6 обложек ценой по 4 тенге заплатили столько же сколько за тетради ценй по 8 тенге.сколько купили тетрадей?

6*4 = 24 (заплатили за 6 обложек)
24:8 = 3 (за такую же цену можно купить 3 тетради)
ответ: купили 3 тетради

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

                                                             90 дней
1-ая бр. 1800м за         ||
                                              45 дней
2-ая бр. 1800м  за        ||
                                          x дней-?
1-ая и 2 бр. 1800м  за  ||

1)  1800 : 90 = 20 м    1-ая бригада за 1 день
2)  1800 : 45 = 40 м    2-ая бригада за 1 день
3)  20м + 40м = 60 м  1-ая и 2 бригады за1 день
4) х = 1180 : 60 = 30 дней
ответ: За 30 дней будет закончен ремонт этой дороги, если обе бригады будут работать совместно