Даны координаты вершин треугольника abc a(-1; 5) b(1; 15) c(9; 11 найти: 1) уравнение стороны ав; 2) уравнение высоты cd, опущенной из вершины с на сторону ав; 3) уравнение медианы ае; 4) уравнение окружности, для которой ае служит диаметром.

Даны координаты вершин треугольника ABC A(-1;5) B(1;15) C(9;11). Найти:

1) уравнение стороны АВ.

АВ: (х + 1)/2 = (у - 5)/10  это каноническое уравнение.

Сократим на 2.   5х + 5= у - 5,  

у - 5х - 10 = 0  уравнение общего вида.

у = 5х + 10      уравнение с угловым коэффициентом.  к(АВ) = 5.

2) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ.

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/5.      СД: у = (-1/5)х + в.

Для определения в подставим координаты точки С:

11 = (-1/5)*9 + в.     в = 11 + (9/5) = 64/5.  

АД: у = (-1/5)х+ (64/5)  или     х + 5у - 64 = 0.

3) уравнение медианы АЕ.

Находим координаты точки Е как середины отрезка ВС.

Е = ((1+9)/2=5; (15+11)/2=13) = (5; 13).   Точка A(-1;5).

Уравнение АЕ: (х + 1)/6 = (у - 5)/8  или 4х - 3у + 19 = 0.

Или у = (4/3)х + (19/3).

4) уравнение окружности, для которой АЕ служит диаметром.

Находим радиус R заданной окружности как половину отрезка АЕ и её центр (точка О). Точка A(-1;5), точка  Е(5; 13). О(2; 9).

R = (1/2)√(6² + 8²) = (1/2)√(36 + 64) = (1/2)√100 = 10/2 = 5.

Уравнение окружности: (х - 2)² + (у - 9)² = 5².

Если в заданном уравнении кривой  x² + y² - 6x + 5 = 0 выделить полные квадраты, то получим уравнение окружности:
 (x² - 6x + 9) - 4 + y²=0
 (х - 3)² + у² = 2².
Это уравнение окружности с центром в точке (3; 0) и радиусом 2.
Для определения точек пересечения её с прямой 2x+y-6=0 надо решить систему из двух уравнений - получим координаты общих точек.
{x²+y²-6x+5=0;
{2x+y-6 = 0,        y = 6 - 2x  подставим в первое уравнение.
x² + (6 - 2х)² - 6x + 5 = 0, 
x² + 36 -  24х + 4х² - 6x + 5 = 0,
5х² - 30х + 41 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-30)^2-4*5*41=900-4*5*41=900-20*41=900-820=80;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁ = (√80-(-30))/(2*5) = (√80+30)/(2*5) = (√80+30)/10 = (√80/10)+(30/10) = (√80/10)+3 = (3 + 2/√5) ≈ 3,,894427;x₂ = (-√80-(-30))/(2*5) = (-√80+30)/(2*5 )= (-√80+30)/10 = (-√80/10)+(30/10) = (-√80/10)+3 = 3-(2/√5) ≈ 2,105573.
Находим соответствующие координаты этих точек по оси Оу:
 y₁ = 6 - 2x₁ = 6 - 2*(3 + 2/√5) = 6 - 6 - 4/√5 = -4/√5,
 у₂ = 6 -2х₂ = 6 - 2*(3 - 2/√5) = 6 - 6 + 4/√5 = 4/√5.

ответ: ((3 + 2/√5); -4/√5)
            ((3 - 2/√5);  4/√5). 

Уравнение кривой х - 2у² + 4у - 3=0, если его выразить относительно х:
х = 2у² - 4у + 3, даёт уравнение параболы, повёрнутой относительно оси Ох.
Приведение заданного уравнения к каноническому виду дано в приложении.

Для нахождения  точек пересечения параболы х - 2у² + 4у - 3=0 с прямой x - 2у + 1=0 сделаем подстановку х = 2у - 1 в уравнение параболы:
2у - 1 - 2у² + 4у - 3 = 0,
2у² - 6у + 4 = 0    или, сократив на 2:
у² - 3у + 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-3)^2-4*1*2=9-4*2=9-8=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√1-(-3))/(2*1)=(1-(-3))/2=(1+3)/2=4/2=2;y₂=(-√1-(-3))/(2*1)=(-1-(-3))/2=(-1+3)/2=2/2=1.
Находим значения х:
х₁ = 2у - 1 = 2*2 - 1 = 3,
х₂ = 2*1 - 1 = 1.