1.Прибыль Y производителя зависит от рыночной цены X на расходуемое сырье по закону: Y=〖10〗^6⁄p^3 . Предполагая, что возможная цена равномерно распределена от 4 до 8 ден.ед. найти: а) среднюю прибыль; б) среднее квадратическое отклонение прибыли. 2.Известно, что 1/3 всех деталей, сходящих с конвейера, подвергается выборочному контролю на основании некоторого случайного признака. Пусть через контроль деталей. В каких пределах с вероятностью 0, 99 лежит общее число деталей, сошедших с конвейера? (ответ: от 237 до 363 решение через ЦПТ)

Ок, давай разберем каждый вопрос по отдельности.

1. а) Сначала найдем среднюю прибыль. Для этого нужно вычислить интеграл по формуле

Средняя прибыль = ∫[4,8] Y * f(x) dx,

где f(x) - функция плотности вероятности равномерного распределения, которая в нашем случае равна 1/(8-4) = 1/4.

Подставим выражение для Y в формулу:

Средняя прибыль = ∫[4,8] (10^6)/x^3 * 1/4 dx.

Упростим интеграл:

Средняя прибыль = (10^6)/4 ∫[4,8] x^(-3) dx = (10^6)/4 * [(-1/2)x^(-2)]|[4,8] = (10^6)/4 * [(-1/2)(1/8 - 1/64)].

Вычислим эту сумму:

Средняя прибыль = (10^6)/4 * [(-1/2)(64 - 1)/512] = (10^6)/4 * (-1/2)(63/512) = (10^6)(63)/(4 * 2 * 512) = 1225.

Таким образом, средняя прибыль равна 1225 ден.ед.

б) Теперь найдем среднее квадратическое отклонение прибыли. Для этого нужно вычислить интеграл

∫[4,8] (Y - Средняя прибыль)^2 * f(x) dx.

Подставим значения Y и f(x):

∫[4,8] ((10^6)/x^3 - 1225)^2 * 1/4 dx.

Упростим интеграл:

∫[4,8] ((10^6)^2/x^6 - 2 * (10^6)/x^3 * 1225 + (1225)^2) * 1/4 dx.

Вычислим этот интеграл:

(10^6)^2/4 * ∫[4,8] x^(-6) dx - 2 * 1225 * (10^6)/4 * ∫[4,8] x^(-3) dx + (1225)^2/4 * ∫[4,8] 1 dx.

Упростим полученные интегралы:

(10^12)/4 * [(-1/5)x^(-5)]|[4,8] - 2 * 1225 * (10^6)/4 * [(-1/2)x^(-2)]|[4,8] + (1225)^2/4 * [x]|[4,8].

Вычислим значения каждого интеграла:

(10^12)/4 * [(-1/5)(1/32768 - 1/1024)] - 2 * 1225 * (10^6)/4 * [(-1/2)(1/8 - 1/64)] + (1225)^2/4 * [8 - 4].

Упрощаем это выражение:

(10^12)/4 * [(-1/5)(63/32768)] - 2 * 1225 * (10^6)/4 * [(-1/2)(63/512)] + (1225)^2/4 * 4.

Вычисляем все значения:

(10^12)(63)/(4 * 5 * 32768) - 2 * 1225 * (10^6)(63)/(4 * 2 * 512) + (1225)^2 = 28875/26214400 - 764325/524288 + 1500625.

Суммируем значения:

(28875 - 764325 + 1500625) / 26214400 = 948175 / 26214400 ≈ 0.036.

Итак, среднее квадратическое отклонение прибыли равно примерно 0.036 ден.ед.

2. По центральной предельной теореме (ЦПТ) можно сделать следующие рассуждения: если случайная величина X_1, X_2,...,X_n имеет одинаковые распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ^2, то сумма этих случайных величин подчиняется нормальному распределению с параметрами nμ и nσ^2.

В данном случае каждая деталь - это отдельная событийная единица, т.е. случайная величина, и количество успешных деталей, сошедших с конвейера, образуют биномиальное распределение.

Общее число деталей, сошедших с конвейера, можно представить как сумму n случайных величин X_1, X_2,...,X_n, где каждая случайная величина принимает значения 1 (успешная деталь) или 0 (неуспешная деталь).

Математическое ожидание одной детали равно p = 1/3 (так как 1/3 деталей подвергается контролю), а дисперсия равна q = 2/3 (1 - p).

Согласно ЦПТ, сумма n случайных величин X_1, X_2,...,X_n будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием n * p и дисперсией n * q.

Нам дано, что нам нужно найти интервал, в котором с вероятностью 0,99 лежит общее число деталей. Для этого нам нужно найти такие значения z_1 и z_2, что

P(z_1 < (X_1 + X_2 + ... + X_n) < z_2) = 0,99.

Такая вероятность позволяет использовать правило трех сигм, согласно которому с вероятностью 0,99 распределение нормальной случайной величины лежит в пределах трех средних квадратических отклонений от среднего.

Итак, нам нужно найти такие значения z_1 и z_2, что

P(n * p - 3 * sqrt(n * q) < (X_1 + X_2 + ... + X_n) < n * p + 3 * sqrt(n * q)) = 0,99.

Заменим наши значения p и q, а также подставим значения, которые нам даны:

P(n * 1/3 - 3 * sqrt(n * 2/3) < (X_1 + X_2 + ... + X_n) < n * 1/3 + 3 * sqrt(n * 2/3)) = 0,99.

В нашем случае, нам известно, что n = 600, так как имеется дополнительная информация из предыдущего контекста. Вычислим значения z_1 и z_2:

z_1 = 600 * 1/3 - 3 * sqrt(600 * 2/3),

z_2 = 600 * 1/3 + 3 * sqrt(600 * 2/3).

Подставим значения и вычислим результат:

z_1 = 200 - 3 * sqrt(400) ≈ 200 - 3 * 20 ≈ 140,

z_2 = 200 + 3 * sqrt(400) ≈ 200 + 3 * 20 ≈ 260.

Итак, с вероятностью 0,99, общее количество деталей, сошедших с конвейера, будет находиться в диапазоне от 140 до 260.