1.Сложите почленно неравенства 3, 4а>4, 5b и -2, 7a>-2, 8b и запишите полученное неравенство.

а) Подходит пример 1, 2, 3. В этом случае s1=(1+2+3)2−12−22−32=22. Если добавить ещё один член, то получится s2=(1+2+3+4)2−12−22−32−42=70. При этом s2−s1=48.б) Исследуем вопрос в общем виде. Пусть s1=(x1+⋯+xn)2−(x21+⋯+x2n). С добавлением нового члена получается, что s2=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x21+⋯+x2n+x2n+1). Тогда s2−s1=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x1+⋯+xn)2−x2n+1, что с учётом формулы для разности квадратов равно xn+1(2x1+⋯+2xn+x2n+1)−x2n+1=2xn+1(x1+⋯+xn).Применим известные формулы, согласно которым xn+1=x1+nd, где d -- разность арифметической прогрессии, а также x1+⋯+xn=n⋅x1+xn2=nx1+n(n−1)2d.Для числа 1440, с учётом множителя 2 в выведенной выше формуле, получаем уравнение(x1+nd)(nx1+n(n−1)2d)=720.Легко видеть, что n≠12, так как x1≥0, d≥1, и тогда произведение не меньше, чем n⋅n(n−1)2>12⋅12⋅102=720.в) Из предыдущего пункта ясно, что n<12. Значение n=11 не подходит, так как левая часть уравнения делится на 11, а правая не делится. Проверим случай n=10. Здесь после сокращения на 5 получается (x1+10d)(2x1+9d)=144. Понятно, что d=1, что приводит к квадратному уравнению (x1+10)(2x1+9)=144, не имеющему целочисленных решений.Случай n=9 после сокращения на 9 даёт (x1+9d)(x1+4d)=80. Отсутствие целочисленных решений проще всего усмотреть так. Один из сомножителей должен делиться на 5, поскольку 80кратно пяти. Но тогда второй сомножитель тоже делится на 5 ввиду того, что разность кратна пяти. Однако число в правой части не делится на 25, и так быть не может.Для n=8 уравнение после сокращения на 4 принимает вид (x1+8d)(2x1+7d)=180. Здесь уже решение легко найти подбором: подходит d=1, x1=4. Прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 из восьми членов удовлетворяет условиям задачи, и это количество членов является наибольшим.

Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на количество слагаемых.

а)(16+22+16+13+20+17)/6= 104/6=17,33

б)(-21+(-33)+(-35)+(-19)+(-20)+(-22))/6=-150/6=25

в)(61+64+64+83+61+71+70)/7=474/7=67,71

г) (-4+(-6)+0+4+0+6+8+(-12))/8=-4/8=-0,5

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

а)16,22,16,13,20,17 ответ:22-13=9

б)-21,-33,-35,-19,-20,-22 ответ: -19-(-35)=-19+35=16

в)61,64,64,83,61,71,70 ответ: 83-61=22

г)-4,-6,0,4,0,6,8,-12 ответ: 8-(-12)=8+12=20

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

а)16,22,16,13,20,17 ответ: 16

б)-21,-33,-35,-19,-20,-22 ответ: нет моды

в)61,64,64,83,61,71,70 ответ:64

г)-4,-6,0,4,0,6,8,-12 ответ: 0