407 : 23. Выполни действие и вырази делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a=b⋅c+r, где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, r — остаток. ответ: 407=23⋅ ? + ?

Только что отвечал на точно такую же задачу...
Геометрическое место точек Д, удовлетворяющих условию ∠ADB=90 - это окружность с центром в середине стороны AB и диаметром, равным АВ 
Геометрическое место точек Е, удовлетворяющих условию ∠BEC=90 - это окружность, построенная на стороне ВС, с центром в середине стороны и диаметром, равным её длине
Эти окружности пересекаются. 
Наибольшее возможное значение длины отрезка DE получится, если отрезок DE проходит через центры окружностей.
При этом длина DE составит сумму радиусов двух окружностей и их межцентрового расстояния.
Радиусы окружностей равны половине длины сторон, на которых они построены
межцентровое расстояние можно найти из подобия основного треугольника, и малого, образованного половинами сторон и соединяющим середины сторон отрезком. Малый треугольник ровно в два раза меньше, а значит, межцентровое расстояние тоже в два раза меньше стороны АС
Итого - максимум DE равен полупериметру треугольника АВС и численно составляет (9+8+5)/2 = 11