Двое рабочих за 30 дней(-я) изготавливают 330 запчастей(-и) для автомобиля. Первый работник может проделать эту работу за 55 дней(-я А второй рабочий может проделать ту же работу за дней(-я).

9%

Пошаговое объяснение:

Итак, у нас есть 2 станка, отказывающие с вероятностями p1 и p2 соответственно.

Событие X0 = (0 станков отказали) = (Все станки работают). Его можно записать как произведение событий X0=

¯

A1

⋅

¯

A2

, поэтому вероятность

P(X0)=P(

¯

A1

⋅

¯

A2

)=P(

¯

A1

)⋅P(

¯

A2

)=q1⋅q2.(1)

Событие X1 = (1 станок отказал). Подумаем, когда такое событие произойдет:

1. Когда первый станок откажет (событие A1) и одновременно с этим второй станок работает (событие

¯

A2

), то есть получили произведение событий A1⋅

¯

A2

.

2. Когда второй станок откажет (событие A2) и одновременно с этим первый станок работает (событие

¯

A1

), то есть получили произведение событий

¯

A1

⋅A2.

Так как других вариантов нет, а эти два варианта - несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

P(X1)=P(A1⋅

¯

A2

+

¯

A1

⋅A2)=P(A1⋅

¯

A2

)+P(

¯

A1

⋅A2)=

дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки:

=P(A1)⋅(

¯

A2

)+P(

¯

A1

)⋅P(A2)=p1⋅q2+q1⋅p2.

Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного отказавшего станка из двух:

P(X1)=p1⋅q2+q1⋅p2.(2)

Событие X2 = (2 станка отказали). Его можно записать как произведение событий X2=A1⋅A2, поэтому вероятность

P(X2)=P(A1⋅A2)=P(A1)⋅P(A2)=p1⋅p2.(3)

Теория: случай 3 станков

Быстренько обобщим наши формулы для случая 3 станков, отказывающих с вероятностями p1, p2 и p3.

Ни один станок не отказал:

P(X0)=P(

¯

A1

⋅

¯

A2

⋅

¯

A3

)=P(

¯

A1

)⋅P(

¯

A2

)⋅P(

¯

A3

)=q1⋅q2⋅q3.(4)

В точности один станок отказал, остальные два - нет:

P(X1)==P(A1)⋅P(

¯

A2

)⋅P(

¯

A3

)+P(

¯

A1

)⋅P(A2)⋅P(

¯

A3

)+P(

¯

A1

)⋅P(

¯

A2

)⋅P(A3)==p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3.(5)

В точности два станка отказали, а один - работает:

P(X2)==P(A1)⋅P(A2)⋅P(

¯

A3

)+P(A1)⋅P(

¯

A2

)⋅P(A3)+P(

¯

A1

)⋅P(A2)⋅P(A3)==p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3.(6)

Все три станка отказали:

P(X3)=P(A1⋅A2⋅A3)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=p1⋅p2⋅p3.(7)

Практика: укрощаем станки

Пример 1. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок проработает смену без наладки, равна 0,9, а второй – 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба станка проработают смену без наладки, б) оба станка за смену потребуют наладки.

Итак, случай с 2 станками, используем формулы (1) и (3), чтобы найти искомые вероятности. Важно, какое событие мы считаем базовым: выше в теории мы использовали "станок откажет", тут же удобнее событие "станок проработает смену" (при этом формулы сохраняют вид, но легко использовать не ту, будьте внимательны).

Итак, пусть pi - вероятность i-му станку проработать смену без наладки. И нужные вероятности:

1) Оба станка проработают смену без наладки:

P(A1⋅A2)=P(A1)⋅P(A2)=p1⋅p2=0,9⋅0,8=