Расставить знаки препинания.сделать синтаксический разбор предложения: подчеркнуть члены предложения, дать характеристику входящих в состав сложного отдельных предложений, указать тип предложения, определить, чем осложнено каждое предложение: и теперь, занятая хлопотливыми обязанностями хозяйки, она часто с заботливой любовью поглядывала через двери в гостиную, где в углу над шахматным столиком склонилась большая характерная голова румянцева с открытым шишковатым лбом мыслителя и детскими глазами, голубыми и ясными. !

Я попробую но предупреждаю, что я не преподаватель русского языка, просто я считаю, что надо поставить запятые именно так.
1. Всем известно, что Пушкин лучше всего писал осенью. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что известно?) 
2. Утром на рассвете зимой редко можно понять, какой будет этот день.(Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что можно понять?) 
3. Какое блаженство, что блещут снега, что холод окреп.(Здесь выделяются запятыми два придаточных дополнительных предложения -  каждое отвечает на вопрос "что за блаженство?", "в чем блаженство?" - что можно понять? Ну и, конечно, они разделяются между собой запятой, т.к. между ними нет союза. Например, если бы было "Какое блаженство, что блещут снега и что холод окреп.", тогда между двумя однородными придаточными предложениями, относящимися к одному и тому же слову, запятая не ставится. ) 
4. Он узнал по моему лицу, кто я. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" - что узнал?) 
5. Няню Пушкина стали спрашивать, был ли обыск и взяли ли какие-нибудь бумаги. (Здесь отделяются запятой  от главного предложения  два придаточных дополнительных предложения, соединенных союзом "и" . Каждое из них  отвечает на вопрос "о чем?" - спрашивать о чем? Ну и, конечно, они  не разделяются между собой запятой, т.к. оба этих придаточных предложения относятся к одному и тому же слову и соединены союзом. ) 
6.Очевидно было, что Савельич передо мной был прав и что я напрасно оскорбил его упрёком и подозрением. (Здесь тот же  случай, что и в предыдущем примере, только придаточные дополнительные предложения  отвечают на вопрос "что?" - что было ясно?).
7. Я спросил у высокого солнца, как мне вспыхнуть светлее зари. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "о чем?" -  о чем спросил?) 
8. Казалось, что птичка покорно сторожит в ночной тишине какую-то печальную тайну. (Здесь выделяется запятой придаточное дополнительное предложение - оно отвечает на вопрос "что?" -  что казалось?)

 9. В детстве мы впервые узнали, что мир гораздо шире комнаты с игрушками, что в синеющем за бугром лесу живут трусливые зайцы неповоротливые медведи и хитрые лисицы. (Здесь выделяются запятыми два придаточных дополнительных предложения -  каждое отвечает на вопрос "что?"- что узнали? Ну и, конечно, они разделяются между собой запятой, т.к. между ними нет союза.

Летний дождь.

Летний дождь стремителен, короток и свеж. Только что среди ветвей прыгали и щебетали птицы,  наперебой хвалясь новым гнездом или подросшим потомством. Вдруг в небе вскипает грозовая туча. Лесные птахи стихают и прячутся в гнезда. Только зяблики поют свою тревожную песню: "Тинг-тинг-тинг". Чем ближе раскаты грома, тем громче их щебет. Зяблики быстро порхают взад-вперед, садятся или скачут вблизи гнезд. Как только первые капли дождя начинают барабанить по листьям, зяблики укрываются в гнезде, спрятав под крыльями птенцов. Но стоит выглянуть солнцу, птахи взлетают на высокое дерево поблизости и заводят свою звонкую песенку. Их  радость звучит ничуть ни тише недавней тревоги. Вот уже и соседи прыгают по ветвям, поднимаясь ближе к солнцу. Они скачут, бьют крыльями, топорщат хвостики - сушат намокшие перышки. Едва стихает резвый ветер, унесший за горизонт полегчавшую тучу, в лесу продолжается концерт.