Укажите, какие виды связи есть в предложении. Обыкновенно старик выходил играть под вечер: для его музыки нужно было, чтобы в мире стало тише.

Бессоюзная связь на месте, где стоит двоеточие. Подчинительная связь, где стоит союз "чтобы"

Повесть «Станционный смотритель» — это история человеческой жизни, в которую бесцеремонно вторглись и безжалостно ее растоптали. Повесть построена по всем правилам жанра. Сначала мы знакомимся с местом действия и героем — Самсоном Выриным. Потом автор вводит в развитие сюжета персонажей, сопричастных к тому, что произойдет с главным героем. Перед нами трагедия «маленького человека», чиновника четырнадцатого класса. 

Станционный смотритель Самсон Вырин живет бедно, своим трудом, исполненным оскорблений и унижений, он добывает средства к существованию, но ни на Что не жалуется и доволен судьбой. Он растит дочь — милую, чуткую, красивую девушку, которая ему и иногда сглаживает конфликтные ситуации, которые неизбежно возникают на станции с нетерпеливыми и строгими проезжающими. Но в этот маленький спокойный мир приходит беда: молодой гусар Минский тайно увозит Дуню в Петербург. 

Горе потрясло старика, но не сломило — он отправился за своей Дуней в Петербург, разыскал Минского и пробрался к нему. Но старика выбросили из дома. Станционный смотритель не смирился с тем, что не увидел дочь, и сделал еще одну попытку, но Дуня, заметив его, упала в обморок, а его опять прогнали. Самсон Вырин смирился. Он уехал на свою почтовую станцию, с горя запил и вскоре умер. Обиженный судьбой и людьми, Вырин стал воплощением страдания и бесправия. Самсон Вырин пытался протестовать, но, как человек низшего сословия, не мог противостоять Минскому. Такова печальная судьба «маленького человека», мастерски изображенная Пушкиным. Вопрос о его судьбе Пушкин ставит остро и драматично. Смирение унижает человека, делает его жизнь бессмысленной, вытравляет в нем гордость, достоинство, превращает его в добровольного раба, в жертву, покорную ударам судьбы. 

1. Чтобы слова были однокоренными
2. Подобрать проверочное слово так, чтобы на безударную гласную ПАДАЛО ударение
 К примеру слово "холодильник"
Нам нужно проверить безударные гласные в 1-ом и во 2-ом слогах, для этого подбираем однокоренные слова, так, чтобы на гласную падало ударение.
холодильник - хОлод, 1-ый слог проверили, проверочное слово является однокоренным и на 1-ую "о" падает ударение.
холодильник - холОдный, 2-ой слог проверили, проверочное слово является однокоренным и ударение падает на 2-ую "о".
Значит в слове "холодильник" смело пишем 2 "о"

По-моему так)