Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.

        4   3   -1

det( 5   0   4)   =   -3*(5*2-4*2) - 1*(4*)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора 

        2   1   2

a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.

вектор d представим в виде:

d = p*a + q*b + r*c

так как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:

4p + 3q - r = 5

5p + 4r = 7

2p + q + 2r = 8

  q = 8-2p-2r     тогда получим систему 2p+7r=19

                                                          5p+4r=7

решив, получим: p = -1,   r = 3   и тогда q = 4

значит разложение выглядит так:

d = -a + 4b + 3c.      

Рассмотрим сначала числа со старшим разрядом единиц (в обратном порядке):             сумма количества цифр: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа вдвое больше количества цифр исходного числа.             искомая сумма: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа всё так же вдвое больше количества цифр исходного.             искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество цифр у квадрата равно количеству цифр исходного.             искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество у квадрата равно количеству цифр исходного. теперь переходим к старшему разряду десятков (в обратном порядке):             сумма: 2 + 4 = 6 , количество цифр у квадрата вдвое больше количества цифр исходного.             сумма: 2 + 4 = 6 , цифр у квадрата всё так же вдвое больше количества цифр исходного.             сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата числа: 3 = 4–1 .             сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата: 3 = 4–1 . далее переходим к старшему разряду сотен (в обратном порядке):             сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше.             сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше.             сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 .             сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 . ну и ещё переходим к старшему разряду тысяч (в обратном порядке):             сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше.             сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше.             сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 .             сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 . а теперь всё обобщим на самый общий случай. если бы число записывалось единицей с r нолями, то его квадрат содержал бы уже 2r нолей, при этом в исходном числе было бы (r+1) цифр, а в квадрате числа – (2r+1) цифр. пусть у нас старший разряд таков, что во всём числе только r цифр, рассмотрим всё, как обычно в обратном порядке: (  99999 : : : r цифр : : : 99999  )    –    это число на единицу меньше, чем число        (  100000 : : : r нулей : : : 00000  )        , в котором (r+1) цифр. квадрат числа [(  99999 : : : r цифр : : : 99999  )]      –    это число, меньшее, чем число        (  100000 : : : 2r нулей : : : 00000  )        , в котором (2r+1) цифр. значит, квадрат числа (  99999 : : : r цифр : : : 99999  ) содержит ровно 2r цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3r цифр. в числе (  400000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )  содержится r цифр. квадрат числа [(  400000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  1600000 : : : (2r–2) нулей : : : 00000  )  содержит 2r цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3r цифр. в числе (  300000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )  содержится r цифр. квадрат числа [(  300000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  900000 : : : (2r–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2r–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3r–1) цифр. в числе (  100000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )  содержится r цифр. квадрат числа [(  100000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  100000 : : : (2r–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2r–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3r–1) цифр. и так будет для любого r r = 1    : : :   сумма: 3r = 3 или (3r–1) = 2 . r = 2    : : :   сумма: 3r = 6 или (3r–1) = 5 . r = 3    : : :   сумма: 3r = 9 или (3r–1) = 8 . r = 4    : : :   сумма: 3r = 12 или (3r–1) = 11 . r = 5    : : :   сумма: 3r = 15 или (3r–1) = 14 .   . . r = 32    : : :   сумма: 3r = 96 или (3r–1) = 95 . r = 33    : : :   сумма: 3r = 99 или (3r–1) = 98 . r = 34    : : :   сумма: 3r = 102 или (3r–1) = 101 . r = 35    : : :   сумма: 3r = 105 или (3r–1) = 104 . и т.д и т.п. как легко видеть, в этой последовательности: 2, 3,  5, 6,  8, 9,  11, 12,  14, 15 95, 96,  98, 99,  101, 102,  104, 105 пропущены определённые числа. пропущенные числа: 1, 4, 7, 10, 13, 16 94, 97, 100, 103, 106 подчиняются закону (3r+1). в самом деле, между предыдущим и последующим значениями, кратными трём, всегда содержатся два целые числа, а искомой суммой, помимо 3r, может быть только одно из них: (3r–1) . поэтому, значения, подчиняющиеся закону (3r+1) не могут быть искомым результатом. так, например, число 99 – кратно трём ( 99 = 3*33 ), а значит, число    100 = 3*33+1    никак не могло бы оказаться в расчётах лены. о т в е т : у лены не могли получиться результаты, подчиняющиеся закону (3r+1) , где r – какое угодно целое число. ну и, конечно, все результаты лены могут быть только положительными, поскольку это количества, т.е. натуральные величины. в частности, у неё не могло получиться число 100.

Y(x)=-x^5+5x берем производную: y`(x)=-5x^4+5 приравняв производную к 0,решаем получившееся уравнение. -5x^4+5=0 5x^4=5 x^4=1 x=+-1 наносим на ось получившиеся значения и проверяем какой знак имеет производная на данных промежутках: x∈(-∞; -1)   производная отрицательная x∈(-1; 1)     производная положительнаяx∈(1; +∞ )     производная отрицательноделаем вывод,что на промежутках: (-∞; -1) и  (1; +∞)  функция монотонно убывает,а на промежутке  (-1; 1 ) монотонно возрастает.