1. выражения : а) а*а*а*х*х*х*х*х; б) 3*3*х*х*х*у*у*у*у; в) а*а*а+а*а*а*а*а; г) (с+d) * (с+d) * (с+d) * (с+d 2.вычислите : а) 15 во второй степени, 20 в третьей степени, 9 в третьей степени; б) 4/5 во второй степени, 2/3 в третьей степени, 4 целых 1/2 во второй степени; в) 1.5 во второй степени, 2.1 во второй степени, 0.5 в третьей степени; г) (-3) в четвёртой степени, (-4) в третьей степени, (-2) в пятой степени; д) (-1/2) в третьей степени, (-3/4) во второй степени, (-1 целая 1/3) во второй степени; е) (-1.5) во второй степени, (-0.2) в третьей степени, (-0.1) в пятой степени.

1. выражения :   а) а*а*а*х*х*х*х*х = a^3*x^5;   б) 3*3*х*х*х*у*у*у*у = 9*x^3*y^4; в) а*а*а+а*а*а*а*а = a^3+a^5=; г) (с+d) * (с+d) * (с+d) * (с+d) = (c+d)^4.  2.вычислите :   а) 15 во второй степени 15^2=225, 20 в третьей степени 20^3=8000, 9 в третьей степени 9^3=729; б) 4/5 во второй степени (4/5)^2=16/25, 2/3 в третьей степени (2/3)^3=8/27, 4 целых 1/2 во второй степени (4 1/2)^2=16 1/4; в) 1.5 во второй степени 1.5^2=2.25, 2.1 во второй степени 2.1^2=4.41, 0.5 в третьей степени 0.5^3=0.125; г)   (-3) в четвёртой степени (-3)^4 = 81, (-4) в третьей степени (-4)^3=-64, (-2) в пятой степени (-2)^5=-32; д) (-1/2) в третьей степени = -1/8, (-3/4) во второй степени = 9/16, (-1 целая 1/3) во второй степени = 1 1/9; е) (-1.5) во второй степени =2.25, (-0.2) в третьей степени = -0.008, (-0.1) в пятой степени = -0.00001.

S₁₀ = 16 s₁₈ = 20 a₁ = ?       d = ? решение s₁₀ = (2a₁ + 9d)*10/2        16 = (2a₁ +9d)*5          16 = 10a₁ + 45d s₁₈ = (2a₁ +17d)*18/2,  ⇒ 20 = (2a₁ +17d)*9,  ⇒    20 = 18a₁ +153d,  ⇒ ⇒решаем систему методом сложения: 16 = 10a₁ + 45d | * (-9)        -144 = -90a₁  - 405d 20 = 18a₁ +153d | * 5,⇒        100 =  90 a₁ +765d  cкладываем  почленно получим: -44= 360d,  ⇒ d = -11/90   16 = 10a₁ + 45d 16 = 10a₁ + 45 * (-11/90) 16 = 10a₁ -5,5 10a₁ = 21,5   a₁ = 2,15

Доказательство проведем индукцией по n. 1) 17ⁿ - 1 кратно 16. при n = 1 кратность подтверждается: 17 - 1 = 16. пусть кратность 16-ти сохраняется при произвольном n. докажем, что она подтверждается и при n + 1. 17ⁿ⁺¹ - 1 = 17*17ⁿ + 1. составим разность: 17ⁿ⁺¹ - 1 - (17ⁿ - 1) = 17ⁿ⁺¹ - 1 - 17ⁿ + 1 =  17*17ⁿ - 17ⁿ = 17ⁿ(17 - 1) = 16*17ⁿ. получили, что разность 17ⁿ⁺¹ - 1 - (17ⁿ - 1) кратна 16. т.к. слагаемое 17ⁿ - 1 также кратно 16 по предположению индукции, то и слагаемое 17ⁿ⁺¹ - 1 кратно 16, следовательно кратность доказана. 2) 23²ⁿ⁺¹ + 1 кратно 24. при n = 1 кратность подтверждается: 23³ + 1 = 12167 + 1 = 12168 = 24*507. полагая, что имеет место кратность 23²ⁿ⁺¹ + 1 двадцати четырем, покажем, что и при n + 1 кратность подтверждается. 23²⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹ + 1 = 23²ⁿ⁺³ + 1. составляем разность 23²ⁿ⁺³ + 1 - (23²ⁿ⁺¹ + 1) = 23²ⁿ⁺³ + 1 - 23²ⁿ⁺¹ - 1 = 23²ⁿ⁺¹*23² - 23²ⁿ⁺¹ = 23²ⁿ⁺¹(23² - 1) = 23²ⁿ⁺¹(23 - 1)(23 + 1)=22*24*23²ⁿ⁺¹. видим, что эта разность кратна 24. т. к. слагаемое 23²ⁿ⁺¹ + 1 кратно 24 по предположению индукции, то и 23²ⁿ⁺³ + 1 кратно 24, тем самым кратность доказана. 3) 13²ⁿ⁺¹ + 1 кратно 14. действуя как в предыдущем пункте, получаем: при n = 1, 13³ + 1 = 2197 + 1 = 2198 = 14*157. полагаем, что 13²ⁿ⁺¹ + 1 кратно 14 и доказываем кратность четырнадцати при n + 1. 13²⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹ + 1 = 13²ⁿ⁺³ + 1. составляем разность 13²ⁿ⁺³ + 1 - (13²ⁿ⁺¹ + 1) = 13²ⁿ⁺³ - 13²ⁿ⁺¹ = 13²*13²ⁿ⁺¹ - 13²ⁿ⁺¹ = 13²ⁿ⁺¹(13² - 1) = 13²ⁿ⁺¹(13 - 1)(13 + 1) = 12*14*13²ⁿ⁺¹. разность кратна 14, т. к. по предположению 13²ⁿ⁺¹ + 1 кратно 14, то и 13²ⁿ⁺³ + 1 кратно 14. кратность доказана.