Прошу и с этим ​

2cos²x+2sin2x=3 (синус двойного угла: sin2x=2sinxcosx) 2cos²x+2(2sinxcosx)-3=0 2cos²x+4sinxcosx-3=0 (поскольку sin²x+cos²x=1 (осн.тригоном. то мы можем представить 3 как 3(sin²x+cos²x)=3sin²x+3cos²x) 2cos²x+4sinxcosx-(3sin²x+3cos²x)=0 2cos²x+4sinxcosx-3sin²x-3cos²x=0 -cos²x+4sinxcosx-3sin²x=0 cos²x+3sin²x-4sinxcosx=0 |: cos² x≠0(cos²x/cos²x)+(3sin²x/cos²/cos²x)=0 1+3tg²x-4tgx=0 3tg²x-4tgx+1=0 замена: пусть tgx=t 3t²-4t+1=0 поскольку в данном уравнении a+b+c=0 (3+(-4)+1=0), то: t₁=1 t₂=c/a=1/3 обратная замена: 1) tgx=1 x=π/4+πn, n∈z 2) tgx=1/3 x=arctg1/3+πn, n∈z

Запишем данное уравнение в виде p(x,y)*dx+q(x,y)*dy=0, где p(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x), q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x). для того, чтобы данное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия dp/dy=dq/dx. в нашем случае dp/dy=1/y-10*y*sin(5*x), dq/dx=1/y-10*y*sin(5*x), т.е. dp/dy=dq/dx, поэтому данное уравнения есть уравнение в полных дифференциалах. но тогда справедлива система уравнений: p(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x)=du/dx q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x)=du/dy, где du/dx и du/dy - частные производные от искомой функции u(x,y). интегрируя первое уравнение системы по x, находим u(x,y)=ln(y)*∫dx-5*y²*∫sin(5*x)*dx=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. дифференцируя теперь это равенство по y, находим du/dy=x/y-2*y*cos(5*x)+f'(y). а так как du/dy=q(x,y)=x/y-2*y*cos(5*x), то отсюда f'(y)=0 и соответственно f(y)=c1, где с1 - произвольная постоянная. значит, u(x,y)=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+c1. но так по условию du=0, то u=const=c2, где c2 - также произвольная постоянная. отсюда получаем равенство x*ln(y)-y²*cos(5*x)=c, где c=c2-c1. это и есть решение данного уравнения. ответ: x*ln(y)-y²*cos(5*x)=c.