Что в значит исследовать на монотонность

Исследование на монотонность функции означает: промежутки возрастания и убывание функции.

Функция может убывает или возрастает

Проще всего решить это уравнение графическим способом: arctan(x/5)-arctan(x/7) представляет собой график арктангенса, из которого вычели график арктангенса с меньшим аргументом. это похоже на тот же арктангенс, который идет вдоль оси абсцисс. но главное тут, это то, что оба арктангенса проходят через общую точку 0! и получается, при вычитании, 0-.е. результирующий график проходит также через 0. с другой стороны,  arctan(x) также проходит через 0 и больше полученную в левой части уравнения кривую не пересекает. т.е. ответ x = 0

Найти неопределенные интегралы. результаты проверитьдифференцированием.а) ∫(3x^2+4/x+cosx+1)dx=x³+4·ln ixi+sinx +x +c  проверка: (x³+4·ln ixi+sinx +x +c)'=3x²+4/x +cosx+1   -  верно б) ∫[4x/√(x^2+4)]dx=     [  (x^2+4)=t     dt=2xdx ]   =∫2dt/√t=4√t+c=4√(x^2+4)+c проверка: (4√(x^2+4)+c)'=[4(1/2)/√(x^2+4)]·2·x  =4x/√(x^2+4)  -    верно в) ∫-2xe^xdx   =-2  ∫xe^xdx= [ x=u           e^xdx=dv   ]                                             [ dx=du         e^x=v       ] -2  ∫xe^xdx=-2( u·v-  ∫vdu)=-2(x·e^x-∫e^x·dx)=-2(x·  e^x-e^x)+c=-2·(e^x)·(x-1)+c проверка: (-2·(e^x)·(x-1)+c)'=-2((e^x)'·(x-1)+(e^x)·(x-1)')=-2((e^x)·(x-1)+(e^x))=-2(e^x)·x =-2x·(e^x) - верно