Из всех прямоугольников данного периметра 2p найдите тот у которого диагональ наименьшая

2p = 2*(a+b) ==> p = a + b; диагональ   с = sqrt( a^2 + b^2 ) == sqrt( a^2 + (p-a)^2 ) = sqrt( 2a^2 -2p*a + p^2  ); имеем функцию с(а) = sqrt(2a^2 -2p*a+p^2); мы хотим найти наименьшее значение функции с(а) на интервале (0; +inf), так как функция sqrt(  c(a) ) - парабола с ветвями, направленными вверх и вершиной в а= p/2 ==> наименьшее значение функция sqrt( c(a) )  принимает в точке минимума, т.е., в вершине параболы а=р/2, стоит заметить, что так как sqrt( c(p/2) ) > 0 ==> и функция c(a) тоже принимает своё наименьшее значение в точке а=p/2. таким образом, а = b = p/2 ==> имеем дело с квадратом со стороной р/2.

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла. одз: 2016-x²≥0  ⇒  x∈[-√2016; √2016] 1) 2016-x²=0 - два корня х=-√2016  и х=√2016 2) |1-cosx|-sinx=0       |1-cosx|=sinx 1-cosx≥0  при любом х.   уравнение имеет решение при sinx≥0 1-cosx=sinx sinx+cosx=1 делим все уравнение на √2    и применяем метод угла sin(x+(π/4))=√2/2. х+(π/4)=(π/4)+2πk, k∈z. x=2πk, k∈z или х+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈z. х=(π/2)+2πn, n∈z. на отрезке длиной 2π≈6,28 два корня. на промежутке [0; √2016) 15 корней. √2016≈44,89 44,89: 6,28=7,14 14 корней на [0; 7·6,28)  плюс корень 7·6,28. всего 15 и симметрично слева 15 корней. о т в е т. 32 корня.

2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, поскольку каждый следующий элемент однозначно определяется предыдущим, то как только в последовательности встретится число, которое уже было раньше, последоватеьлность с этого места начнет повторяться.  такой момент наступает на 16-ом элементе: число 89 уже было на 8-м месте. итак, до начала периодичности записано 7 элементов: 2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85,  а после этого последовательность из 8 элементов 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58  циклически повторяется. т.к. 2016-7=2009=8*251+1, то после семи первых элементов в 2009 элементов укладывается 251 полный период длиной 8, и поскольку остаток равен 1, то 2016-ый элемент равен первому элементу в периоде, т.е. 89. ответ: 89.