Укажите связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.  глава 5. решение треугольников  5.1. прямоугольный треугольник  аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. до сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. с введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.  1  рисунок 5.1.1.  прямоугольный треугольник.  косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. пусть угол (bac) – искомый острый угол. так, например, для угла bac (рис. 5.1.1)  теорема 5.1.  косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.  доказательство  пусть abc и a1b1c1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах a и a1, равным α . построим треугольник ab2c2, равный треугольнику a1b1c1, как показано на рис. 5.1.2. это возможно по аксиоме 4.1. так как углы a и a1 равны, то b2 лежит на прямой ab. прямые bc и b2c2 перпендикулярны прямой ac, и по следствию 3.1 они параллельны. по теореме 4.13  2  рисунок 5.1.2.  к теореме 5.1.  но по построению ac2 = a1c1; ab2 = a1b1, следовательно,  что и требовалось доказать.  теорема 5.2.  теорема пифагора. в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  модель 5.2. доказательство теоремы пифагора.  на рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. bc и ac – его катеты, ab – гипотенуза. по теореме bc2 + ac2 = ab2.  доказательство  пусть abc – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине c.  3  рисунок 5.1.3.  к доказательству теоремы пифагора.  проведем высоту cd из вершины c. по определению из треугольника acd и из треугольника abc. по теореме 5.1 и, следовательно, . аналогично из δ cdb, из δ acb, и отсюда ab · bd = bc2. складывая полученные равенства и, замечая, что ad + bd = ab, получаем ac2 + bc2 = ab · ad + ab · bd = ab (ad + bd) = ab2. теорема доказана.  в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. косинус любого острого угла меньше единицы.  пусть [bc] – перпендикуляр, опущенный из точки b на прямую a, и a – любая точка этой прямой, отличная от c. отрезок ab называется наклонной, проведенной из точки b к прямой a. точка c называется основанием наклонной. отрезок ac называется проекцией наклонной.  с теоремы пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то  любая наклонная больше перпендикуляра,  равные наклонные имеют равные проекции,  из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.  синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. по определению  тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. для угла (bac) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем  так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла.  4  рисунок 5.1.4.  из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то  катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;   катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;   катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.

функция  tgx  возрастающая  функция,  то  есть  большему  значению  х  соответствует

  большее  значение  tgx  и  наоборот    меньшему  значению  х  соответствует

меньшее  значение  tgx.

a) tg200(град)  - tg201(град)  <   0        tg200  <   tg201

б)  tg1  -  tg1.01  <   0                        tg1  <     tg1.01

в)      tg2.2  -  tg2.1  >   0                    tg2.2  >   tg2.1

  г)    tg(3pi/5)    -      tg(6pi/5)  <   0                tg(3pi/5)  <       tg(6pi/5)

найдём  производную,  приравняем  её  нулю  решим  полученное  уравнение.

потом  найдём  значения  функции в  точках  экстремума,лежащих  внутри и  на  концах  отрезка  [-1;   1]

и  выберем  наибольшее  значение.

f " (x)  =  (x^3 - 5x^2 +5) "  =  3x^2  -  10x

3x^2  -  10x  =  0

3x(x - 10/3)  =  0

1)      x_1  =  0

2)      x - 10/3 = 0            x_2  =  10/3  не  принадлежит  [-1;     1]

f(-1)  =  (-1)^3  -  5*(-1)^2  +  5  =  -1  -  5  +  5  =  -1

  f(0)  =  0^3  -  5*0^2  +  5  =  5

f(1)  =  1^3  -  5 * 1^2  +  5  =  1

 

ответ.      наибольшее  значение    5      при      х  =    0