Решите уравнение: х^3+3х^2-9х-27=0

(х³+3х²)-(9х+27)=0
х²(х+3)-9(х+3)=0
(х²-9)(х+3)=0
(х-3)(х+3)(х+3)=0
х₁=3  х₂=-3
ответ:-3;3

Возведём в квадрат сумму или разность двучлена:

Легко запомнить. Чтобы выделить полный квадрат (квадрат двучлена) из квадратного трёхчлена, надо разделить пополам коэффициент   перед "х" и записать это число в скобку, которая будет возведена в квадрат  ( ), а затем вычесть квадрат этой половины, а далее приписать свободный член  q. Это правило годиться, если коэффициент при    равен 1. Если этот коэффициент не равен 1, то предварительно вынести его за скобку и выделять полный квадрат из выражения, записанного в скобке.

Например:

 

Найдем ОДЗ (Область допустимых значений). Т.к. на ноль делить нельзя, знаменатель не должен быть равен 0. Отсюда находим:

Дальше можно решить разными

Решим методом интервалов (более удобен):

Отмечаем точки ОДЗ и решения на координатной прямой, находим знаки для каждого промежутка и находим решение неравенства (см. прикрепленный рисунок).

P.S. Незакрашенные точки значат, что это значение не входит в промежуток (обозначается круглой скобочкой), а закрашенные - наоборот (обозначается квадратной скобочкой).

Решим с правила расщепления:

Т.е. существуют два случая, при которых частное может быть ≥ 0 (Нужно использовать >, < вместо ≥, ≤ соответственно для знаменателя, поскольку он не может быть равен 0):

или

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

Зная это правило, решаем неравенство:

Решим, для удобства, неравенства отдельно.

Первое:

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≥ 0:

или

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

Второе:

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≤ 0:

или

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

Вернемся к решению другой совокупности:

Учитывая ОДЗ, найдем решение:

Теперь решим другое неравенство.

Зная, что разделим наше неравенство на 4 системы: