найдите наибольшее значение функции: у = 2sinx - cos2x на промежутке [п/4; 3п/4]

Y`=2cosx+2sin2x=0
2cosx(1+2sinx)=0
cosx=0⇒x=π/2∈[π/4;3π/4]
sinx=-1/2⇒x=7π/6∉[π/4;3π/4]
y(π/4)=2*√2/2-0=√2
y(π/2)=2*1+1=3 наиб
y(3π/4)=2*√2/2-0=√2

рассмотрим наше уравнение:

выполним замену cos²3x=t; t≥0

чтобы уравнение имело хотя бы один корень надо чтобы D≥0

Это неравенство выполняется для любых a

тогда проверим корни, необходимо чтобы t≥0

рассмотрим первый корень

значит при а≥2.5 мы получим один положительный корень (относительно t)

проверим второй корень

тут положительных корней не получим.

значит рассмотрим один положительный корень t=(2a-5)/2.  при а≥2,5

выполним обратную замену

рассмотрим положительный корень

рассмотрим отрицательный корень

выполняется для всех а≥2.5

Собираем все вместе 2,5≤а≤3,5

Из условия задачи ясно, что правдивые гномы могут любить только сливочное мороженое, а лживые — только шоколадное или фруктовое. Именно поэтому все гномы сказали, что любят сливочное.

Правдивый — любит только сливочное, признает это, а про остальные сорта говорит, что не любит. Лживый гном, который любит шоколадное мороженое, скажет «нет» в ответ на второй вопрос, и «да» — в ответ на третий. Если же лживый гном любит фруктовое, то он ответит «да» на вопрос про шоколадное, и «нет» — про фруктовое.

Мы видим, что в любви к фруктовому мог признаться только лжец, который любит шоколадное мороженое. Причем такой среди гномов — всего один. А из второго столбца мы видим, что отрицают любовь к шоколадному мороженому все правдивые гномы и лжецы, которые любят шоколад. Но таких лжецов, как мы уже узнали, всего один. Поэтому на второй вопрос ответили «нет» все правдивые гномы и один лжец. То есть правдивых гномов — половина минус один.