Укр, язык внутрішні кути опуклого многокутника утворюють арифметичну прогресію, різниця якої дорівнює 5 градусів. найменший кут дорівнює 120 градусів. знайдіть кількість сторін даного многокутника. рус, язык внутренние углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, разница которой равна 5 градусов. наименьший угол равен 120 градусов. найдите количество сторон данного многоугольника.

А1=120 град. - первый угол
d=5 град
Пусть n углов, тогда сумма Sn= (2a1+d(n-1))*n/2 = (2*120 +5(n-1))*n/2

С другой стороны сумма угдлов = 180 град*(n-2)

Приравняем и решим уравнение:

(240+5n-5)*n/2 = 180n - 360                 умнож. на 2.

(235+5n)*n= 360n-720    

235n +5n2 -360n + 720 = 0

5n2 -125n +720=0

n2 - 25n +144 = 0

D=625-576 =49

n1=(25+7)/2=16

n2=(25-7)/2= 9

ответ: 16 и 9.

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

1. 1)Преобразует левую часть уравнения так, чтобы получился квадрат выражения с х. х^2-4х+3=0, (х^2-2*(2*х)+4)-4+3=0, (х-2)^2-1=0, (х-2)^2=1, х-2=1 или х-2=-1, х=3 или х=1. 2) представим левую часть в виде произведения: х^2+9х=0, х(х+9)=0, х=0 или х=-9. 2. Подставим в уравнение известный корень и найдем а: 4^2+4-а=0, 16+4-а=0, а=20. Разложим левую часть на множители, зная что один из них (х-4): х^2+х-20=х2-4х+4х+х-20=х(х-4)+5х-20=х(х-4)+5(х-4)=(х-4)(х+5), то есть (х-4)(х+5)=0, второй корень х=-5. ответ: а=20, второй корень (-5). Во втором задании можно просто подставить а и решить уравнение, найдя 2 корня.