X^2+xy+y^2-2x+2y+4=0. решить уравнение.

уравнение кривой второго порядка с коэффициентами:

а(11) = 1;   а(12) = 1/2; а(22) = 1; а(13) = -1; а(23) = 1;   а(33) = 4.

посчитаем главный определитель:

1       1/2       -1            

1/2     1           1     =   1*| 1   1|   - (1/2)* | 1/2   1 |   +   (-1)*| 1/2   1 | =          

-1       1           4             | 1   4|               | -1     4   |             | -1     1 |

 

= 4 -(3/2) - (3/2) = 1 > 0

итак d = 1 (> 0).

теперь посчитаем d:

d = a(11)*a(22) - a(12)^2 = 1 - (1/4) = 3/4 (> 0)

теперь i:

i= a(11) + a(22) = 2 (> 0).

это классические инварианты кривой второго порядка, позволяющие уравнение к каноническому виду и судить о форме кривой.

в нашем случае d не равно 0 и d*i > 0   - значит это мнимый эллипс (ни одной действительной точки)

ответ: нет действительных решений.

A*3^x - 12a + 4a^2 > 0 3^x > 0 при любом x ∈ r. вынесем а за скобки. a*(3^x - 12 + 4a) > 0 1) при а = 0 будет 0 > 0 - этого не может быть ни при каком х. решений нет. 2) при a < 0 будет 3^x + 4a - 12 < 0 3^x < 12 - 4a 12 - 4a > 0 при любом a < 0, 3^x > 0 при любом x, поэтому x < log3 (12 - 4a) 3) при a > 0 будет 3^x + 4a - 12 > 0 3^x > 12 - 4a = 4(3 - a) при a ∈ (0; 3) будет 4(3 - a) > 0, поэтому x > log3 (12 - 4a) при a > = 3 будет 4(3 - a) < = 0, поэтому 3^x > 4(3 - a) (отрицательного числа) при любом x. x ∈ r ответ: при a = 0 решений нет. при a ∈ (-oo; 0) x ∈ (-oo; log3 (12-4a)) при a ∈ (0; 3) x ∈ (log3 (12-4a); +oo). при a ∈ [3; +oo) x ∈ (-oo; +oo)

При любом значении b решите уравнение :   (x^2+(3b+2)x+2b^2 +3b+1) / (x^2 - 5x +4)=0(x²+(3b+2)x+2b² +3b+1) / (x² - 5x +4)=0 ; одз: x² - 5x +4≠0  ⇒ [ x ≠ 1 ; x ≠ 4. x²+(3b+2)x+2b² +3b+1=0 ; d=(3b+2)² - 4(2b² +3b+1)= b² ≥ 0   всегда   имеет   решения : x₁    = (-3 b- 2 - b)/2 = -1 - 2b , если  -1 -  2b ≠ 1   и -1 -  2b ≠ 4 , т.е. если b ≠ -1 и b ≠ -2,5. x₂   =  (- 3b - 2 +b)/2 = -1 - b ,  опять если  -1 -  b ≠ 1 b и -1 -  b ≠ 4 ,  . т.е.   если  b ≠ -2 и  b ≠ - 5.   * * * * p.s. можно было  в самом начале для уравнения  x²+(3b+2)x+2b² +3b+1=0  исключить   x =1 и  x =  4 в качестве корней;   1)   1²+(3b+2)1+2b² +3b+1=0  ⇔2b²  +6b+4 =0⇔  b²  +3b+2 =0  ⇒[ b = -2 ; b =  -1  . 2)  4²+(3b+2)4+2b² +3b+1=0⇔2b²  +15b+25 =0⇔  [ b = -5 ; b =  -  2,5 . b  ≠ -5 ; -2,5 ;   -2 ; -  1.