Укажите число натуральных решений неравенства: | x/2-10 | > = 3

X/2-10≤-3 U x/2-10≥3
x/2≤7 U x/2≥13
x≤14 U x≥26
x∈(-∞;14] U [26;∞)

1) х²-3х-40>0

D=(-(-3))²-4×1×(-40)=9+169=169

x1=(-(-3)-√169)/2×1=(3-13)/2=-5

x2=(-(-3)+√169)/2×1=(3+13)/2=16/2=8

x∈(-∞;-5)и(8;+∞)

х⁺(-5)--₋(8)--⁺---х

2) х²>-5х+14

х²+5х-14>0

По теореме Виета:

х₁+х₂=-5

х₁×х₂=-14

х₁=-7

х₂=2

х---⁺---(-7)---₋---(2)---⁺---х

х∈(-∞;-7) и (2;+∞).

3) 10х²+2х+34>4х²-х+79

10х²+2х+34-4х²+х-79>0

6х²+3х-45>0

D=(-3)²-4×6×(-45)=9+1080=1089

x₁=(-3-√1089)/2×6=(-3-33)/12=-36/12=-3

x₂=(-3+√1089)/2×6=(-3+33)/12=30/12=5/2=2,5

x---⁺---(-3)---₋---(2,5)---⁺---x

x ∈(-∞;-3) и (2,5;+∞).

4) 2х²+14х-20>(х-6)²

2х²+14х-20-(х²-12х+36)>0

2х²+14х-20-х²+12х-36>0

х²+26х-56>0

D=(-26)²-4×1×(-56)=676+224=900

x₁=(-26-√900)/2×1=(-26-30)/2=-56/2=-28

x₂=(-26+√900)/2×1=(-26+30)/2=4/2=2

x---⁺---(-28)---₋---(2)---⁺---x

x∈(-∞;-28) и (2;+∞).

А) (n+13)²-n²=
=n²+2*13*n+13²-n²=
=2n*13+13*13=
=13(2n+13) делится на 13, потому что хотя бы один множитель делится на 13.
б) (2n-5)²-(2n+1)²=
=4n²-2*2n*5+5²-(4n²+2*2n*1+1²)=
=4n²-20n+25-4n²-4n-1=
=-24n+24=
=24(1-n) делится на 24, потому что один из множителей делится на 24.
в) (3n+1)²-(n-1)²=
=9n²+2*3n*1+1²-(n²-2*n*1+1²)=
=9n²+6n+1-n²+2n-1=
=8n²+8n=8n(n+1).
Рассмотрим два случая.
По условию n целое, пусть n=2k-1 нечетноe, тогда n+1=2k целое четное,
тогда 8n(n+1)=8(2k-1)*2k=16k(2k-1) делится на 16.
Пусть n=2k четное, соответственно n+1=2k+1 нечетное,
тогда 8n(n+1)=8*2k(2k+1)=16k(2k+1) делится на 16.
г) 2n³-2n=2n(n²-1)=2n(n-1)(n+1)
n-1, n, n+1 три целых последовательных числа, хотя бы одно из них является четным и кратно 2, а одно точно кратно 3, значит они содержат в себе простые множители 2 и 3, пусть n=2k, n-1=2k-1, n+1=2k+1=3t, а значит
2n(n-1)(n+1)=2*2k(2k-1)3t=12kt(2k-1) делится на 12.