На доске размером n×n двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы не появлялось закрашенных уголков из трех клеток. проигрывает тот, кто не может сделать ход. при каких n выигрывает второй игрок?

ответ: при чётных ответах т.е. например: 14, 16

Для четных n выиграет второй игрок, если он будет ходить симметрично первому (относительно центра доски). 

Формула касательной: y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)
так как x₀=0, то формула касательной:y=f'(0)x+f(0)
f(x)=1+2x-x^2 ⇒ f(0)=1+2*0-0²=1
 f'(x)=2-2x ⇒ f'(0)=2
касательная:у=2х+1
график оси Ох: у=0
нужный треугольник образован тремя прямыми:у=2-х; у=0; у=2х+1,
теперь надо найти точки пересечения графиков:
2-х=2х+1           3х=1          х=1/3
2-х=0         ⇒     х=2      ⇒  х=2
2х+1=0              2х=-1         х=-1/2

у=2-х                у=2-1/3=5/3
у=0           ⇒     х=2
у=2х+1,             у=2*(-1/2)+1=0

координаты вершин треугольника:(2;0);(1/3;5/3);(-1/2;0)
длина отрезка=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² )
√( (2- 1/3)²+(0- 5/3)² )=5√2 / 3
√( (-1/2- 1/3)²+(0- 5/3)² )=5√5 / 6
√( (2+ 1/2)²+(0- 0)² )=2,5
получился треугольник со сторонами: 5√2 / 3 (у=2-х); 5√5 / 6 (у=2х+1); 2,5 (у=0).
f'(x)=k=tg α
y=2-x=-x+2
k=-1 ⇒ tgα=-1   ⇒  α=135°-внешний угол треугольника при вершине (2;0) ⇒
внутренний угол =180-135=45°
 SΔ= a*b*sinα/2=(5√2/3)*2.5*sin45 / 2=(5√2/3)*2.5*(√2/2) / 2=25/12
отв:25/12

Формула касательной: y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)
так как x₀=0, то формула касательной:y=f'(0)x+f(0)
f(x)=1+2x-x^2 ⇒ f(0)=1+2*0-0²=1
 f'(x)=2-2x ⇒ f'(0)=2
касательная:у=2х+1
график оси Ох: у=0
нужный треугольник образован тремя прямыми:у=2-х; у=0; у=2х+1,
теперь надо найти точки пересечения графиков:
2-х=2х+1           3х=1          х=1/3
2-х=0         ⇒     х=2      ⇒  х=2
2х+1=0              2х=-1         х=-1/2

у=2-х                у=2-1/3=5/3
у=0           ⇒     х=2
у=2х+1,             у=2*(-1/2)+1=0

координаты вершин треугольника:(2;0);(1/3;5/3);(-1/2;0)
длина отрезка=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² )
√( (2- 1/3)²+(0- 5/3)² )=5√2 / 3
√( (-1/2- 1/3)²+(0- 5/3)² )=5√5 / 6
√( (2+ 1/2)²+(0- 0)² )=2,5
получился треугольник со сторонами: 5√2 / 3 (у=2-х); 5√5 / 6 (у=2х+1); 2,5 (у=0).
f'(x)=k=tg α
y=2-x=-x+2
k=-1 ⇒ tgα=-1   ⇒  α=135°-внешний угол треугольника при вершине (2;0) ⇒
внутренний угол =180-135=45°
 SΔ= a*b*sinα/2=(5√2/3)*2.5*sin45 / 2=(5√2/3)*2.5*(√2/2) / 2=25/12
отв:25/12