Решить систему неравенств 5x+3 =0 1/2x-4 =0

5х + 3 =0; х = -3/5;                                                                                         
1/2х-4=0; х=8

При n = 1 равенство примет вид 2 = 2, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

1*2 + 2*5 + 3*8 ++n(3n-1) = n^2(n+1)

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

1*2 + 2*5 + 3*8 ++n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2)= (n+1)^2(n+2)
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

 1*2 + 2*5 + 3*8 ++n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2) =n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2) 

получим

n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2)  = (n + 1) (n^2 + 3n + 2) = (n + 1 )(n + 1)(n + 2) =
= (n + 1)^2 (n + 2)

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Выражение слева может достигать значения (-1-2)²=9 это максимальное значение.
справа минимальное значение 9 и значит равенство возможно только при выполнении ряда условий.
1.  cos²(5x)=0   cos5x=0  5x=π/2+πk   x=π/10+πk/5

2.   cos2x=1   cos4x=-1  
            2x=πn  x=πn/2    4x=π+2πk   x=π/4+πk/2    должны выполняться одновременно  π/4+πk/2=πn/2   1/4+k/2=n/2   1+2k=2n
   нечетное число равно четному →к=0 n=1  x=π/2
3.  или cos2x=-1     2x=π+2πn    x=π/2+πn
   одновременно cos4x=1   4x=2πm   x=πm/2     π/2+πn=πm/2               1/2+n=m/2  1+2n=m   m=2n+1  x=πm/2=π(2n+1)/2=πn+π/2
  4. условия π/10+πк/5  и πn+π/2 должны выполняться вместе
       π/10+πk/5=πn+π/2   1/10+k/5=n+1/2
        1+2k=10n+5  2k-10n=4   k-5n=2  k=2+5n   x=π/10+π(2+5n)/5=
         =π/10+4π/10+πn=π/2+πn
 везде k;m;n∈Z
  ответ   x=π/10+πn/5