Найдите значения sin a и ctg a, зная, что cos a = 8/17 и 3п/2 < a < 2п

Объяснение:

Нам необходимо доказать, что

S(n) = 1 / 1 * 2  + 1 /2 * 3 + ... + 1 /n * (n + 1) = n / (n + 1).

Проведем доказательство по индукции.

S(1) = 1 / 1 * 2 = 1/2 = 1 /(1 + 1) = 1/2.

Предположим, что утверждение верно

для любого натурального к <=  n.

Тогда

S(n + 1) = 1 / 1 * 2  + 1 / 2 * 3 + ... + 1 / n * (n + 1) +

+ 1 / (n + 1) * (n + 2) = S(n) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= n / (n + 1) + 1 / (n + 1) * (n + 2) =

= (n * (n + 2) + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n^2 + 2 * n + 1) / (n + 1) * (n + 2) =

= (n + 1)^2 / (n + 1) * (n + 2) = (n + 1) / (n + 2)

Нам потребуется следующая

Л е м м а: пусть функция дифференцируема на некотором открытом множестве , причем . Тогда .

Д о к а з а т е л ь с т в о: в общем-то следует из необходимого условия локального экстремума: легко видеть, что точка является локальным минимумом.

Любой многочлен, конечно, является дифференцируемой функцией. Потому . Более того, поскольку -- корни многочлена, то . Продифференцируем: . В точке производная равна , аналогично в точке : . С другой стороны, -- многочлен второй степени, а потому . Поскольку , то , следовательно, .