Расстояние 30 км один из двух лыжников на 20 минут быстрее другого. скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше скорости второго. какая скорость была у каждого лыжника?

Пусть скорость второго лыжника x ( км/ч), скорость первого ( x + 3) км/ч - по условию.Расстояние - 30 (км).Находим время первого - 30/(x + 3), второго - 30/x.
Переводим 20 мин. - это 1/3 часа.
Чем больше скорость,чем меньше время,значит,
30/x - 30/( x + 3) = 1/3
(30x + 90 - 30x) / x( x + 3) = 1/3
90/(x² + 3x) = 1/3
x² + 3x - 270 =0
D = b² - 4ac =9 + 1080 = 1089 = 33²
x1= ( - 3 + 33) / 2 = 15
x2 = ( - 3 - 33) / 2 = - 18 - меньше 0-не походит.
Значит,скорость второго лыжника - 15 км/ч
скорость первого 18 км/ч
ответ: 15 км/ч, 18 км/ч

Если я поняла правильно, то то, что связывает путь и время - это скорость. Скорость - это производная от S(t). Потом находим нулевую точку:
1) S(t) = ((t³ / 3) - t⇒v(t)=s`(t)=((t³ / 3) - t)`=(1/3)·3t²-1=t²-1; 
v(t)=0;
т.е. t²-1=0⇒t²=1⇒t=1(t≠-1, т.к. путь отрицательным быть не может)
2)S(t) = ((t⁴) / 4) - t³ + 2 ⇒v(t)=s`(t)=((t⁴) / 4) - t³ + 2)`= (1/4)·4t³-3t²=t³-3t²;
v(t)=0; 
т.е. t³-3t²=0⇒t²(t-3)=0⇒t=3
3)S(t) = (t⁵ / 5) - t³ + 4⇒v(t)=s`(t)=((t⁵ / 5) - t³ + 4)`=(1/5)·5t⁴-3t²=t⁴-3t²
v(t)=0;
т.е. t⁴-3t²=0 ⇒t²(t²-3)=0⇒t²=3⇒t=√3
4) S(t) = t² - t ⇒v(t)=s`(t)=(t²-t)`=2t-1
v(t)=0;
т.е. 2t-1=0⇒2t=1⇒t=1/2
Как-то так.

Дано:                                          Решение:
S = 360 км
t₁ = 3 ч                       Скорость первого автомобиля:     v₁ = S₁/3  (км/ч)             
S₁ = S₂+30               Скорость второго автомобиля:      v₂ = (S₁-30)/3  (км/ч)
t₂' = t₁' + 0,5 ч
----------------------       Время прохождения всего пути:
Найти:                                        первый автомобиль:       t₁' = (360*3)/S₁  (ч)
v₁ - ?; v₂ - ?                                второй автомобиль:        t₂' = (360*3)/(S₂-30)  (ч)
                                  Так как t₂' = t₁' + 0,5 ч, то:

                     

Тогда:
                

ответ: Скорость первого автомобиля -  90 км/ч; второго - 80 км/ч.