Найдите корень уравнения: а) 3x(2x-1)-6x(7+x)=90 б) 1, 5x(3+2x)=3x(x+1)-30 в) 5x(12x-7)-4x(15x-11)=30+29x г) 24x-6x(13x-9)=-13-13x(6x-1)

а) 6х^2-3х -42х-6х^2=90 -45х=90 Х=-2 б)4,5х+3х^2=3х^2+3х -30 4,5х -3х=-30 1,5х=-30 Х= 20 в)60х^2-35х-60х^2+44х=30+29х -35х-29х+44х=30 Х=-1,5 г)24х+54х=-13+13х 65х= -13 Х=-0,2

(x^2 - 2x)^2 - (a+2)(x^2 - 2x) + (3a-3) = 0

Замена x^2 - 2x = y

y^2 - (a+2)y + (3a-3) = 0

Если у исходного уравнения 4 корня, то у этого должно быть 2 корня.

При этом у каждого из уравнений x^2 - 2x = y1 и x^2 - 2x = y2 тоже должно быть по 2 корня.

D = (a+2)^2 - 4(3a-3) = a^2 + 4a + 4 - 12a + 12 = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2

При любом а, кроме 4, это уравнение имеет 2 корня.

y1 = (a+2-a+4)/2 = 6/2 = 3

y2 = (a+2+a-4)/2 = (2a-2)/2 = a-1

Обратная замена

1) x^2 - 2x = 3

x^2 - 2x - 3 = 0

(x + 1)(x - 3) = 0

x1 = -1; x2 = 3

2) x^2 - 2x = a-1

x^2 - 2x + 1 - a = 0

D = 4 - 4(1-a) = 4 - 4 + 4a = 4a

x3 = (2 - 2√a)/2 = 1 - √a

x4 = (2 + 2√a)/2 = 1 + √a

При a < 0 корней x3 и x4 вообще нет, то есть всего 2 корня.

При а = 0 будет x3 = x4 = 1, то есть всего 3 корня.

При a > 0, но при a ≠ 4, будет 2 корня x3 и x4.

3) Рассмотрим варианты, когда x3 = x1; x3 = x2; x4 = x1; x4 = x2.

1 - √a = -1; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.

1 - √a = 3; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.

1 + √a = -1; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.

1 + √a = 3; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.

ответ: a ∈ (0; 4) U (4; +oo)

1) (x² - 2x)² - 9 = 0
Пусть а = х² - 2х.
а² - 9 = 0
(а - 3)(а + 3) = 0
а = 3
а = -3
Обратная замена:
х² - 2х = 3
х² - 2х = -3

х² - 2х - 3 = 0
х² - 2х + 3 = 0

Для первого уравнения по обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 2
х1•х2 = -3

х1 = 3; х2 = -1

Для второго уравнения:
D = 2² - 3•4 = 4 - 12 = -8 =. нет корней.
ответ: х = -1; 3.

2) (х² - 2х)² + 2(х² - 2х) - 15 = 0
Пусть b = x² - 2x.
b² + 2b - 15 = 0
По обратной теореме Виета:
b1 + b2 = -2
b1•b2 = -15

b1 = -5; b2 = 3.
Обратная замена:
x² - 2x = -5
x² - 2x = 3

x² - 2x + 5 = 0
x² - 2x - 3 = 0

Для первого уравнения:
D = 2² - 5•4 = 4 - 20 = -16 => нет корней.

Для второго уравнения по обратной теореме Виета:
x1 + x2 = 2
x1•x2 = -3
x1 = -1; x2 = 3.

ответ: х = -1; 3.

3) 3x² + 1 - 2√(3x² + 1) = 0
Пусть c = √(3x² + 1).
c² - 2c = 0
c² = 2c
c = 0
c = 2
Обратная замена:
√(3x² + 1) = 0
√(3x² + 1) = 2

3x² + 1 = 0
3x² + 1 = 4

3x² = -1
3x² = 3

Первое уравнение не имеет действительных корней.
3x² = 3
x² = 1
x = ±1.

ответ: х = -1; 1.