1)какое значение а нужно, чтобы уравнение а²х- 2а²=49х+14а имело один корень? 2)при каком значении а сумма корней уравнения х²-(а²-17а+83)х-21=0 будет наименьшей?

Рассмотрим три случая:
1) При а=7 получим:

Получившееся уравнение не имеет решений.
2) При а=-7 получим:

Получившееся уравнение имеет бесконечное множество корней.
3) Если а≠7 и а≠-7, то разделим левую и правую часть уравнения на (а+7)(а-7)

Именно в этом случае уравнение будет иметь один корень.
ответ:


Прежде чем рассматривать сумму корней докажем, что уравнение всегда будет иметь корни. Находим дискриминант:

Сумма неотрицательного числа (квадрат) и положительного числа есть число положительное, значит дискриминант положительный и уравнение имеет два корня при любом значении а.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

Выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине, которую вычислим по формуле:

Иначе можно было найти ответ приравняв к нулю первую производную функции:

ответ: 8,5

рассмотрим первую пару.

Замечаем, что все коэффициенты у них различны, (у первой 2 и -1, а у второй -2 и 0). Поэтому жанные прямые пересекаются.

Рассмотрим теперь вторую пару прямых.

 

Замечаем, что у данных прямых угловые коэффициенты одинаковы, а другие различаются(угловой коэффициент у каждлй прямой равен 5). Поэтому данные прямые паралллельны.

 

У третьей пары прямых все коэффициенты совпадают, поэтому фактически речь идёт об одной и той же прямой, то есть говрят, что данные прямые совпадают.

В задании опечатка.
Задание:
Моторная лодка против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите  скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км\ч - скорость лодки в неподвижной воде,
х + 2 км\ч - скорость лодки по течению
х - 2 км\ч - скорость лодки против течения
- время, за которое лодка пройдет по течению                                                117 км
- время, за которое лодка пройдет против                                                      течения 117 км
на обратный путь на 4 часа меньше ( по условию)

составляем уравнение:




117*(x+2) - 117 * (x - 2) - 4 (x² - 4) = 0
117 х + 234 - 117х + 234 - 4х² + 16 = 0
468 - 4х² + 16 = 0
484 - 4х² = 0
4х² = 484
х² = 484 : 4
х² = 121
х ₁= 11
x₂ = -11

скорость не может быть отрицательной, ответ 11 км\час

ответ: 11 км\час.