Варифметической прогрессии найти s40, если s10=100, а s30=900

S10=100,s30=900,s40=?
sn=n/2(a1+an)
s10=5(a1+a10), 100=5(a1+a10), a1+a10=20
s30=15(a1+a30), 900=15(a1+a30), a1+a30=60
a1+a10=20,a1+a1+9d=20,2a1+9d=20
a1+a30=60, a1+a1+29d=60,2a1+29d=60
---
2a1+9d=20
2a1+29d=60

20-9d=60-29d, 20d=40,d=2
2a1=20-9d,2a1=20-18,2a1=2,a1=1
a40=a1+39d,a40=1+39.2=1+78,a40=79
s40=40/2(1+79)=20.80=1600
s40=1600

Пусть х дм - длина одного катета, тогда  

(23+х)  дм -  длина другого катета.

37 дм - гипотенуза

ОДЗ:  0<x<37

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, получаем уравнение:

x² + (23+x)² = 37²

x² + 529 + 46x + x² = 1369

2x²+46x+529-1369 = 0

2x²+46x-840 = 0  |:2

x²+23x-420 = 0

D = 23² - 4·1·(-420) = 529+1680 = 2209 = 47²

x₁ = (-23-47)/2 = -60/2 = - 30 < 0 не удовлетворяет ОДЗ.

x₂ = (-23+47)/2 = 24/2 = 12  удовлетворяет ОДЗ.

Получаем:

12 дм - длина одного катета;

23+12 =35  дм -  длина другого катета;

37 дм - гипотенуза

Найдем периметр прямоугольного треугольника​:

12 + 35 + 37 = 84 (дм)

ответ: 84 дм

Пусть один катет равен а, второй b, тогда их разность будет a-b=23. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,т.е. 37^2=a^2+b^2 Составим систему
a-b=23
a^2+b^2=1369 в первом уравнении выразим одну переменную через другую, получим
a=23+b подставим данное выражение в место а во второе уравнение, выпишем его и решим отдельно
(23+b)^2+b^2=1369 раскроем скобки по формуле сокращенного умножения 
529+46b+b^2+b^2=1369
2b^2+46b-840=0 для упрощенного решения сократим на 2 
b^2+23b-420=0 находим корни по дискрименанту
D=529+1680=2209
b1=-(23-47)/2=12
b2=-(23+47)/2=-35 не является решением, т.к. сторона не может быть отрицательной, поэтому получаем одно решение b=12(один катет). Теперь найдем второй катет, для этого найденное значение b подставим в первое уравнение системы
a=23+12=45(второй катет). Теперь найдем периметр(сумма всех сторон)
P=45+12+37=94