Василий подошел к расписанию автобусов в 7: 12 в поселке городище ему нужно было доехать до станции дубки сколько минут ему придется ждать до отправления первого автобуса который останавливается на станции дубки?

все числа от 1 до 75 делятся на три группы.

1) целые числа, которые делятся на  3  без остатка: 0, 3, 6, 9, 12, …72,75. они  представимы в виде  n=3k, где kϵz

2) целые числа, которые делятся на  3  c остатком 1:   1, 4, 7, 10, 13, …73. они представимы в виде  n=3k+1, где kϵz

2) целые числа, которые делятся на  3  c остатком 2:   2, 5, 8, 11, 14, …74. они представимы в виде  n=3k+2, где kϵz

 

выясним, какие остатки имеют квадраты чисел каждой группы.

  1) n²=(3k)²

квадраты чисел первой группы делятся на  3  без остатка.

2) n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3*(3k²+2k)+1.

квадраты чисел второй группы делятся на  3  с остатком 1.

3) n²=(3k+2)²=9k²+12k+4= 9k²+12k+3+1=3*(3k²+4k+1)+1.

квадраты чисел третьей группы делятся на  3  с остатком 1.

 

теперь найдём сумму s₁  всех чисел от 1 до 75, а затем вычтем сумму s₂  всех чисел, которые делятся на  3  без остатка,   и получим искомую сумму s всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3 получается остаток, равный 1.

 

1) hайдём сумму s₁  всех чисел от 1 до 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

s= (a₁+an)*n/2

а₁ = 1

а₇₅= 75

n = 75

s₁= (1+75)*75/2 = 2850

2) hайдём сумму s₂  всех чисел от 3,  6,  9, …,72, 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

s= (a₁+an)*n/2

n = 75: 3=25

а₁ = 3

а₂₅= 75

  s₂= (3+75)*25/2 = 975

3) hаконец, найдём сумму s = s₁ - s₂

s = 2850 - 975 = 1875

ответ: 1875

 

Cos9x - cosx = 0 или  sin4x = 0                                                                или        sin5x = 0 4x = πn , n ∈ z                                                                                      5x = πn , n  z x = πn/4 , n ∈ z                                                                                    x = πn/5 , n ∈ z