Логарифм 35/3 по основанию 5 минус логарифм 7/75 по основанию 5

Log35/3 -log7/75 (c одинаковым основанием 5 , можем применить формулу разности лагорифмов)= log35/3*75/7=(после сокращения получаем) log5^3 c основанием 5. Отбрасываем логарифм и получаем 3 ответ : 3

(x^2 - 2x)^2 - (a+2)(x^2 - 2x) + (3a-3) = 0

Замена x^2 - 2x = y

y^2 - (a+2)y + (3a-3) = 0

Если у исходного уравнения 4 корня, то у этого должно быть 2 корня.

При этом у каждого из уравнений x^2 - 2x = y1 и x^2 - 2x = y2 тоже должно быть по 2 корня.

D = (a+2)^2 - 4(3a-3) = a^2 + 4a + 4 - 12a + 12 = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2

При любом а, кроме 4, это уравнение имеет 2 корня.

y1 = (a+2-a+4)/2 = 6/2 = 3

y2 = (a+2+a-4)/2 = (2a-2)/2 = a-1

Обратная замена

1) x^2 - 2x = 3

x^2 - 2x - 3 = 0

(x + 1)(x - 3) = 0

x1 = -1; x2 = 3

2) x^2 - 2x = a-1

x^2 - 2x + 1 - a = 0

D = 4 - 4(1-a) = 4 - 4 + 4a = 4a

x3 = (2 - 2√a)/2 = 1 - √a

x4 = (2 + 2√a)/2 = 1 + √a

При a < 0 корней x3 и x4 вообще нет, то есть всего 2 корня.

При а = 0 будет x3 = x4 = 1, то есть всего 3 корня.

При a > 0, но при a ≠ 4, будет 2 корня x3 и x4.

3) Рассмотрим варианты, когда x3 = x1; x3 = x2; x4 = x1; x4 = x2.

1 - √a = -1; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.

1 - √a = 3; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.

1 + √a = -1; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.

1 + √a = 3; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.

ответ: a ∈ (0; 4) U (4; +oo)

1) Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
2t^2+t-1=0
t1=(-1-3)/4=-1
t2=(-1+3)/4=1/2
Вернёмся к замене
sinx=-1
x=-Π/2+2Πn, n€Z
sinx=1/2
x1=Π/6+2Πm, m€Z
x2=5Π/6+2Πm, m€Z
ответ: -Π/2+2Πn, n€Z; Π/6+2Πm, 5Π/6+2Πm, m€Z
2) 6cos^2x+cosx-1=0
Пусть t=cosx, где t€[-1;1], тогда
6t^2+t-1=0
t1=(-1-5)/12=-1/2
t2=(-1+5)/12=1/3
Вернёмся к замене:
cosx=-1/2
x=+-arccos(-1/2)+2Πn, n€Z
cosx=1/3
x=+-arccos(1/3)+2Πm, m€Z
ответ: +-arccos(-1/2)+2Πn, n€Z; +-arccos(1/3)+2Πm, m€Z
3) 2cos^2x+sinx+1=0
2(1-sin^2x)+sinx+1=0
-2sin^2x+sinx+3=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
-2t^2+t+3=0
t1=(-1-5)/-4=-1,5 посторонний, т.к. t€[-1;1]
t2=(-1+5)/-4=-1
Вернёмся к замене
sinx=-1
x=Π/2+2Πn, n€Z
ответ: Π/2+2Πn, n€Z