Сложив две положительные бесконечные переодические дроби, получили бесконечную переодическую дробь. может ли количество цифр в периоде суммы быть меньше количества цифр в периоде каждого слагаемого? обоснуйте свой ответ.

Может. 0,(21)+0,(12)=0,(3)

а)10(корень из x^2-x-1)-3/(дробь)(Корень из x^2-x-1)корень под дробью=7

пусть корень из (х^2-x-1)=а, тогда уравнениє набуває вигляду

10а-3/а=7 домножити ліву і праву частину на а

10а^2-3=7а  - перенесемо а в ліву частину, числа в праву

10а^2-7а=3  - зведемо ашики 

 10а^2-7а-3=0  

a=-0.3 - не відповідає умові

а=1 - підставимо   корень из (х^2-x-1) вместо а

 корень из (х^2-x-1) =1, піднесемо до квадрату ліву і праву частину

х^2-x-1 =1 - перенесемо 1 в ліву частину

х^2-x-2 =0

х=2

х=-1 - за теоремою вієта

 б)2(корень из x^2-9x+23)-5=3/(дробь)корень из (x^2-9x+23) корень под дробью

пусть   (корень из x^2-9x+23)=а, тогда рівняння набуває вигляду

2а-5=3/а - домножимо все на а

2а^2-5a=3 - перенесемо 3 в ліву частину

 2а^2-5a-3=0

а=-1/2

а=3 - за теоремою Вієта

оскільки корінь числа не може бути відємним, то -1/2 не відповідає умові. Єдиною відповіддю є 3. Підставимо  корень из x^2-9x+23 вместо а.

  корень из x^2-9x+23=3 - піднесемо до квадрата обидві частини рівняння

 x^2-9x+23=9 - перенесемо 9 в ліву частину

   x^2-9x+14=0

х=7

х=2 - за теоремою вієта. 

1. Область допустимых значений x^2-x-1>0

пусть sqrt(x^2-x-1)=t, t>0

10t-3/t=7

10t^2-7t-3=0

D=169

t1=1

t2=-0,3 не удовл. условию(t>0)

sqrt(x^2-x-1)=1 возводим в квадрат

x^2-x-1=1

x^2-x-2=0

D=9

x1=2

x2=-1

Проверяем ОДЗ х=2      4-2-1=1>0

                         x=-1     1+1-1=1>0

ответ -1;2

2.принцип такой же

ОДЗ x^2-9x+23>0 данное неравенство справедливо при любом значении х(D<0)

значит и проверку по ОДЗ делать не надо

Пусть sqrt(x^2-9x+23)=t, t>0

2t^2-5t-3=0D=49

t1=3

t2=-0,5 не удовлетворяет(t>0)

sqrt(x^2-9x+23)=3

x^2-9x+23=9

x^2-9x+14=0

D=25

x1=7

x2=2