Найдите значения k, при которых система уравнений имеет единственное решение. x+y=k x^2+y^2=9

ответ: k=+-3√2

Объяснение:

x^2+y^2=9

x^2+y^2=3^2 -это  окружность  с центром  в начале координат (0;0) с радиусом равным 3.

1  решение  будет ,  когда прямая  x+y-k=0  касается окружности , или  расстояние от  начала координат до  этой прямой  равно  радиусу , то  есть 3.

Расстояние от точки до прямой :

S= | A*x0+B*y0+C|/√(A^2+B^2) = |1*0+1*0-k|/√2=|k|/√2

A=B=1

C=-k

x0=y0=0

|k|/√2=3

k=+-3√2

Выразим y=k-x

x^2+(k-x)^2=9

2x^2-2kx +k^2-9=0

1 решение  когда D=0

D/4=k^2-2*(k^2-9)=18-k^2=0

k=+-√18=+-3√2

ответ: (2 ;3) , (3;2)

Объяснение:

Честно я не очень понял к чему надо вот это :

x^5+y^5=u^5-5u^3v+5uv^2​ ?

Система решается элементарно  и без этого.

Пусть :

xy=t

Тогда :

x^3+y^3 = (x+y)*(x^2-xy+y^2) = (x+y)* ( (x+y)^2 -3*xy) =

=5*(25-3t)

x^2+y^2 = (x+y)^2 -2*xy = 25-2t

(x^2+y^2)*(x^3+y^3)  =   x^5 +y^5 +x^2*y^3 +y^2*x^3 =

=  x^5+y^5  +x^2*y^2 * (x+y)  = 275 +5*t^2

Таким образом верно равенство :

5*(25-3t)*(25-2t) = 275+5*t^2

(25-3*t)*(25-2t)  = t^2+55

625  -50*t  -75*t +6*t^2 = t^2+55

570 =  125*t -5*t^2

114 = 25*t -t^2

t^2-25*t +114=0

По  теореме Виета :  (t1+t2 = 25  ; t1*t1=114)

t1=6

t2=19

1)   x+y=5

    x*y=6

По  теореме обратной теореме Виета , система имеет очевидное решение :

x1=2

y1=3

x2=3

y2=2

2) x+y=5

   x*y=19

Очевидно , что  для  всех x и y

(x+y)^2 >=4*x*y

25>=76 (неверно)

Вывод :   решений нет

ответ : (2 ;3) , (3;2)

система x+y=5              ⇒  система х=5-у              (1)

               x²+y²=13                          (5-у)²+у²=13     (2)

 

 решаем (2), раскрываем скобки: 25-10у+у²+у²=13

                                                    25-10у+2у²-13=0

                                                    2у²-10у+12=0

  решаем квадратное уравнение: Д=в²-4ас =100-96=4 (т.к Д>0⇒уравнение имеет 2-а корня)

 находим корни уравнения          х₁₂=   -в±√Д =  10±2   

                                                                    2а           4 

                                                         х₁=3 и х₂=2

возвращаемся к нашей системе:   теперь у нас их 2-е

                                          система  х+у=5   (1)   и   система  х+у=5    (1)

                                                             х= 3      (2)                      х=2       (2)

 

 подставляем  в (1) вместо х=3 в первой системе и во второй системе вместо х=2 получаем                   система  3+у=5       и   система 2+у=5

                                                         х=3                            х=2

 

решаем (1) уравнения и получаем:   система  у=2    и    система  у=3

                                                                          х=3                       х=2

 

 ответ: (3;2) (2;3)