Romanovich1658
?>

Буду за с объяснением. достаточно. найдите наименьшее значение выражения 2tg^2 x +8tgx + sin^2 y + 6siny

Алгебра

Ответы

asker45967
..........................................................................................................
Буду за с объяснением. достаточно. найдите наименьшее значение выражения 2tg^2 x +8tgx + sin^2 y + 6
Евгений1286
1) xy'+y=0
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
y'=- \dfrac{y}{x} - уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
\dfrac{dy}{dx} =- \dfrac{y}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{y} =- \dfrac{dx}{x}
Интегрируя обе части уравнения, получаем
\ln|y|=\ln| \frac{1}{x} |+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln| \frac{C}{x}|
y= \dfrac{C}{x}- общее решение

(1-x^2) \frac{dx}{dy} +xy=0\\ \\ (1-x^2) \frac{dx}{dy} =-xy
Разделяем переменные
\dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy

интегрируя обе части уравнения, получаем

-\ln|x|+ \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2} +C - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3. x^2+y^2-2xy\cdot y'=0
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
(\lambda x)^2+(\lambda y)^2-2\cdot\lambda x\cdot \lambda y\cdot y'=0 |:\lambda^2\\ \\ x^2+y^2-2xyy'=0

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену 
y=ux, тогда y'=u'x+u

Подставляем в исходное уравнение

x^2+u^2x^2-2x\cdot ux(u'x+u)=0\\ \\ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\\ \\ x=0\\ \\ 1-u^2-2uu'x=0\\ \\ u'= \dfrac{1-u^2}{2ux}

Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала

\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1-u^2}{2ux}

Разделяем переменные

\dfrac{du^2}{1-u^2} = \dfrac{dx}{x}

Интегрируя обе части уравнения, получаем

\ln\bigg| \dfrac{1}{1-u^2} \bigg|=\ln|Cx|

\dfrac{1}{1-u^2} =Cx

Обратная замена

\dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx - общий интеграл

Пример 4. y''-4y'+4=0
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть y'=e^{kx}, тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
k^2-4k+4=0\\ (k-2)^2=0\\ k_{1,2}=2

Тогда общее решение будет иметь вид:

y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x} - общее решение

Пример 5. y''+4y'-5y=0
Аналогично с примером 4)
Пусть y=e^{kx}, тогда получаем
k^2+4k-5=0\\ (k+2)^2-9=0\\ \\ k+2=\pm 3\\ k_1=1\\ k_2=-5

Общее решение: y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}

Найдем производную функции
y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}

Подставим начальные условия

\displaystyle \left \{ {{4=C_1+C_2} \atop {2=C_1-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {2=4-C_2-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1= \frac{11}{3} } \atop {C_2=\frac{1}{3} }} \right.

y=\frac{11}{3} e^x+\frac{1}{3} e^{-5x} - частное решение
secretary

Объяснение:

z = xy, при условии 1/x + 1/y = 4

Выразим y через x:

1/y = 4 - 1/x = (4x - 1)/x

y = x/(4x - 1)

z = xy = x^2/(4x - 1)

Область определения z: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ 1/4

Находим производную теперь уже функции одной переменной.

z ' = [2x(4x - 1) - x^2*4] / (4x-1)^2 = (8x^2 - 2x - 4x^2) / (4x-1)^2 = (4x^2 - 2x)/(4x-1)^2

В точке экстремума производная, то есть ее числитель, равна 0.

4x^2 - 2x = 0

2x(2x - 1) = 0

Так как x ≠ 0, то:

2x - 1 = 0

x = 1/2; y = x/(4x - 1) = (1/2) / (4/2 - 1) = 1/2

z = xy = (1/2)*(1/2) = 1/4.

В точке x = 1 > 1/2 будет z ' = (4 - 2)/(4 - 1)^2 = 2/3^2 = 2/9 > 0

Значит, при x > 1/2 функция растет.

В точке x = 1/3 < 1/2 будет z ' = (4/9 - 2/3) / (4/3 - 1)^2 = (-2/9) / (1/3)^2 = -2 < 0

Значит, при x < 1/2 функция падает.

Точка (1/2; 1/2; 1/4) - точка минимума.

Ответить на вопрос

Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:

Буду за с объяснением. достаточно. найдите наименьшее значение выражения 2tg^2 x +8tgx + sin^2 y + 6siny
Ваше имя (никнейм)*
Email*
Комментарий*

Популярные вопросы в разделе

andrew-lev2501
sveta073120
Карен
edelstar83
maximovpavel9114
Анатольевич
targovich
rayman777
Agadzhanyan-Ekaterina
Dmitriy793
sebastianpereira994
ivanovk3599
Rustamov741
agitahell149
Leon-12