Решить . диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двеннадцатую-в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном , и еще после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого диофант прожил только 4 года. сколько лет прожил диофант?

Пусть Диофант прожил х год.

Тогда в детстве провел х/6 год, в юности - х/12 год, х/7 - в бездетно и супружестве, еще через 5 год он провел х/2 год с сыном. И после смерти сына еще 4. И это все его возраст

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4 = х

3х/12 + х/7 + х/2 + 9 = х

х/4 + х/7 + х/2 + 9 = х

3х/4 + х/7 + 9 = х

21х/28 + 4х/28 + 9 = х

25х/28 + 9 = х

3х/28 = 9

х = 9*28/3 = 3*28 = 84.

ответ: Диофант прожил 84 года.

Пусть первая группа может выполнить задание за х дней,
тогда вторая группа может выполнить задание за (х + 10) дней.
Объем работы примем за 1.
Получаем производительность труда:
1/х - у первой группы;
1/(х + 10) - у второй группы;
1/12 - совместная.

1 : х + 1 : (х + 10) = 1 : 12
12х + 12(10 + х) = х(х + 10)
12х + 120 + 12х = х² + 10х
24х + 120 = х² + 10х
х² + 10х - 24х - 120 = 0
х² - 14х - 120 = 0
D = - 14² - 4 * (-120) = 196 + 480 = 676 = 26²

Второй корень не подходит, значит, первая группа может выполнить задание за 20 дней.
20 + 10 = 30 (дн.) - время выполнения задания второй группой.
ответ: 20 дней - первая группа;
            30 дней - вторая группа.

Если условие верно для всех натуральных чисел, то и для целых тоже: это следует, например, из формулы бинома Ньютона, (np+r)^11 дает такой же остаток при делении на n, что и r^11. Прибавляя нужное количество n, из любого отрицательное числа можно сделать положительное, и при этом делимость не нарушится.

Применим утверждение из условия на разных числах.
2 + (-1) + (-1) = 0 делится на n
2^11 - 1^11 - 1^11 = 2 * 3 * 11 * 31 - тоже должно делиться на n

3 + (-2) + (-1) = 0 делится на n
3^11 - 2^11 - 1^11 = 2 * 3 * 7 * 11 * 379 - тоже должно делиться на n.

Из примеров следует, что максимальное возможное значение n равно 2 * 3 * 11 = 66. Докажем, что 66 подходит.

Рассмотрим разность x^11 - x. Докажем, что при целых x она делится на 66.
x^11 - x = x (x^10 - 1) = x (x^5 - 1)(x^5 + 1)
* Делимость на 2: сомножители x, x^5 - 1 разной чётности, поэтому среди них одно чётное, второе нечётное. Значит. произведение делится на 2.
* Делимость на 3: заметим, что x^5 дает такой же остаток от деления на 3, что и x (это можно проверить только для чисел 1, 0, -1). Значит, всё произведение даёт такой же остаток, что и x (x - 1)(x + 1). Это произведение трёх последовательных чисел. Среди них обязательно найдётся делящееся на 3, тогда всё произведение делится на 3.
* Делимость на 11 гарантирует малая теорема Ферма (если p - простое число, то для любого целого a число a^p - a делится на p).
Итак, разность делится на 2, 3, 11, тогда и на 2 * 3 * 11 = 66.

Осталось заметить, что если a + b + c делится на 66, то и a^11 + b^11 + c^11 делится на 66, так как (a^11 + b^11 + c^11) - (a + b + c) = (a^11 - a) + (b^11 - b) + (c^11 - c) делится на 66, поскольку каждое слагаемое делится на 66.

ответ. n = 66.