Решить (с подробным решением) 3sin^2 x - 2 = sinxcosx a) решить. б) найти корни на промежутке [-pi ; 3pi/2].

3sin²x-2=sinxcosx
3sin²x-2(sin²x+cos²x)-sinxcosx=0
3sin²x-2sin²x-2cos²x-sinxcosx=0
sin²x-sinxcosx-2cos²x=0
(sin²x/cos²x) - (sinxcosx/cos²x) - (2cos²x/cos²x)=(0/cos²x)
tg²x - tgx -2=0

t=tgx
t² -t-2=0
D=(-1)² -4*(-2)=1+8=9
t₁=(1-3)/2= -1
t₂=(1+3)/2=2

При t=-1
tgx= -1
x= -п/4 + пк, к∈Z
На промежутке [-п; 3п/2]:
при к=0     х= -п/4;
при к=1     х= -п/4 + п = 3п/4.

При t=2
x=arctg2 + пк, к∈Z
На промежутке [-п; 3п/2]  = [ -180°; 270°]:
arctg 2 ≈ 63°
при к= -1      х= arctg2 - п= 63° - 180°= - 117°
при к=0        х=arctg2
при к=1        х=arctg2 + п=63° + 180°=243°

ответ: а) -п/4 + пк, к∈Z;
                 arctg2 + пк, к∈Z.
 
            б) arctg2 -п;  - п/4;  arctg2;  3п/4;  arctg2 + п.

Задание врагу не пожелаешь) Не приведи господь его на экзамене.

Что такое вообще дробная часть числа ? Это кусочно-разрывная функция. Множество её значений лежит от 0 до 1, причем так: . И состоит она из кусков прямых , при этом . (Имею в виду, что эти прямые (их бесконечно много) по факту находятся на расстоянии 1 друг от друга, но все отрезаются по просто). При этом прямая снизу обрывается при , но без разрыва, а при - сверху и с разрывом, то есть у графика будет бесконечное число выколотых точек вида , .

С этим более-менее разобрались, идем дальше. - описанная выше функция просто переносится по оси OY на единиц (при вверх, при вниз).

Теперь по правой части. Тут попроще.

Пусть у нас

Возведем в квадрат, да поделаем кое-что:

А это ни что иное, как уравнение окружности с центром в радиусом 1. Но так как у нас в условии корень, да с "+", то это верхняя полуокружность.

А теперь начинается самое веселье. Построим график полуокружности и начнем исследовать положение нашей кусочно-разрывной функции относительно этой полуокружности. Сразу отметим, что все, что находится в левой полуплоскости (левее ОY), нам не нужно (это видно по графику полуокружности), поэтому исследуем только правые "кусочки".

Будем исследовать каждый кусочек отдельно, при этом уже третий кусочек нам нужен только в случае , там будет 1 пересечение (1 корень), в остальных случаях пересечений не будет.

Исследуем второй кусочек:

При видно, что пересечений точно нет, при крайняя точка - как раз точка "разрыва", поэтому пересечений не будет, далее будет 1 пересечение, пока левая граница "кусочка" не выйдет из-за полуокружности, это будет при , при этом в нем нет разрыва, поэтому при пересечение ещё будет, поэтому имеем:

при 0 корней, при - 1 корень

Теперь исследуем первый кусочек, он самый неприятный. Видно, что прямая может иметь с частью полуокружности 0,1 или 2 общие точки. При точек будет 1, потому что это только на левом конце прямой, на правом там разрыв.

Далее до некоторого будет 2 точки пересечения, при (это значения параметра, при котором первый кусочек будет касаться полуокружности) будет 1 точка пересечения, при будет 0 точек пересечения. Найдем это

Так как касательных к окружности может быть две, но одна из них к нижней части полуокружности, которой у нас вообще нет, то остается лишь 1 касательная, которую мы и ищем фактически (но когда мы найдем, их окажется 2 как раз из-за окружности, поэтому надо будет взять верхнюю, то есть у которой значение a больше, дальше увидим).

Далее вспомним, что у 1-го кусочка прямая задается как , у 2-го кусочка , у 3-его , а так как мы ищем пересечение как раз 1-го кусочка с полуокружностью, то здесь опустим как раз дробную часть и сможем нормально решить уравнение.

Сразу говорю, у нас получится квадратное уравнение, нам нужно единственное решение, это значит, что .

Вот как раз эти два значения, берем верхнее, то есть большее

Теперь как-то структурируем ответ

При решений 0.

При будет 1 решение с 2-го кусочка.

При будет 1 решение с 1-го кусочка, 1 решение со 2-го и 1 решение с 3-его,то есть 3 решения.

При будет 2 решения с 1-го кусочка и 1 решение с 1-го кусочка, то есть 3 решения.

При будет 1 решение с 1-его кусочка и 1 решение со 2-го, то есть 2 решения.

При будет только 1 решение со 2-го кусочка

При будет 0 решений.

Объединяя все сказанное, получаем, что:

при 0 решений,

при 1 решение,

при 2 решения,

при 3 решения

P.S. К сожалению, наделать миллион графиков не так просто, функция уж больно необычная, особенно для параметра) Надеюсь, что решение более-менее понятно

a∈(-1; 0)

Объяснение:

Рассмотрим неравенство .

Рассмотрим 3 случая:

1) -2a < -a-2, то есть a>2

Решением будет x∈(-2a; -a-2).

Чтобы для всех x∈[-1;0] неравенство выполнялось, необходимо обеспечить полное вхождение этого отрезка в интервал (-2a; -a-2), то есть:

а) -2a < -1 => a > 0.5

б) 0 < -a-2 => a < -2

Решений для a нет.

2) -2a > -a-2, то есть a < 2

Решением будет x∈(-a-2; -2a).

Чтобы для всех x∈[-1;0] неравенство выполнялось, необходимо обеспечить полное вхождение этого отрезка в интервал (-a-2; -2a), то есть:

а) -a-2 < -1 => a > -1

б) 0 < -2a => a < 0

Получается, что a ∈ (-1; 0)

3)  -2a = -a-2, то есть a = 2. Тогда числитель и знаменатель дроби одинаковы, можно разделить их друг на друга и получить 1. Тогда получим неверное неравенство 1 < 0, то есть неравенство не будет иметь вовсе решений.

Таким образом, получается единственный интервал a∈(-1; 0)